Robberies

算法学习—–动态规划初探

题意分析

有一个小偷去抢劫银行,给出来银行的个数n,和一个概率p为能够逃跑的临界概率,接下来有n行分别是这个银行所有拥有的钱数mi和抢劫后被抓的概率pi,求在不被抓的情况下,小偷能抢到的最多的钱是多少。

显然这是一道概率问题,计算小偷不能逃的概率是不好算的,不如计算他成功的概率。若把题目中每个数据变成能够逃跑的概率,那就是1-pi。

我们先举个简单的例子.

不妨假设有3个银行:

①如果小偷都能抢劫,那么抢劫后能逃跑的概率就是(1-p1) * (1-p2) * (1-p3),对应抢到的金钱就是m1+m2+m3

②若他只能抢劫其中2个,那么就是有下面3种情况

~ case1 case 2 case3
成功概率 (1-p1) * (1-p2) (1-p1) * (1-p3) (1-p2) * (1-p3)
获得金钱 m1+m2 m1+m3 m2+m3

③若他只能抢劫1个,那么他只有3中选择

④或者他一个都抢劫不了,那……

好了到这里就差不多理解题目的大意了。因为在概率里面,2件独立事情一起发生的概率是每个事件发生概率的乘积。(如果表述有不合理的地方,请各位留言指正)

我们接着看小偷,小偷面对每个银行,有偷或者不偷2种选择,这不就是典型的0/1背包问题的情景吗?那么限制小偷的偷东西的是什么呢?显然是他被抓的概率,同时小偷想获得最大价值的金钱,不妨我们做个对比:

背包容量(限制拿东西)-> 被抓概率(限制偷东西)

商品价值(希望最大) -> 金钱数量(希望最大)

到这里,大概就能看出来了,dp数组应该保存的是概率(开double类型),数组的下标代表所偷到的金钱。

下面仍有几点需要注意的(个人意见,仅供参考):

1.dp[0]要初始化为1,也很容易理解,啥都没有偷,被抓的概率为0,成功概率为100%;

2.dp完之后,应该由大到小遍历一遍,一旦有一种情况的成功概率大于等于(1-p) p为每组数据一开始给出来的那个临界,输出对应的金钱,break即可。

代码总览

/*
Title:HDOJ.2955
Auhtor:pengwill
Date:2016-12-18
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#define ma 105
using namespace std;
int m[ma];
double dp[10000],p[ma];
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int n,i,j,sum = 0;double pmax;
scanf("%lf %d",&pmax,&n);
pmax = 1-pmax;
memset(m,0,sizeof(m));
memset(p,0,sizeof(p));
for(i = 1;i<=n;++i){
scanf("%d %lf",&m[i],&p[i]);
sum+=m[i];
p[i] = 1-p[i];
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0] =1;
for(j = 1;j<=n;++j)
for(i = sum;i>=m[j];--i)
dp[i] = max(dp[i],dp[i-m[j]]*p[j]);
for(i = sum;i>=0;--i)
if(dp[i]>=pmax)
break;
printf("%d\n",i);
}
return 0;
}

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