Bzoj2721 [Violet]樱花（筛法）

题面

题解

首先化一下式子

$$ \frac 1x+\frac 1y=\frac 1{n!} \Rightarrow \frac {x+y}{xy}=\frac 1{n!} \Rightarrow (x+y)n!=xy \\ \Rightarrow(n!-x)+(n!-y)=(n!)^2 $$

看到最后一个式子，由于$n!$是唯一确定的，所以只要确定了$x$，$y$也是确定的，而且是唯一确定的一组$(x,y)$。

根据唯一分解定理，$n!=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}\Rightarrow(n!)^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_2}...p_m^{2k_m}$

所以$x$的取值方案数为$\prod_{i=1}^m(2k_i+1)$

线性筛一下就好了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::min; using std::max;
using std::swap; using std::sort;
typedef long long ll;

template<typename T>
void read(T &x) {
    int flag = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') flag = -flag; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); x *= flag;
}

const int N = 1e6 + 10, Mod = 1e9 + 7;
int n, k[N], cnt, prime[N], id[N], ret = 1;
inline int sqr(int x) { return x * x; }
inline void add(int &x) { x = (x + 1) == Mod ? 0 : (x + 1); }

int main () {
	scanf("%d", &n);
	memset(id, -1, sizeof id);
	for(int i = 2; i <= n; ++i) {
		if(id[i]) id[i] = ++cnt, prime[cnt] = i;
		for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; ++j) {
			id[i * prime[j]] = 0;
			if(!(i % prime[j])) break;
		}
	}
	for(int i = 2; i <= n; ++i) {
		int tmp = i;
		for(int j = 1; sqr(prime[j]) <= tmp; ++j)
			while(!(tmp % prime[j])) add(k[id[prime[j]]]), tmp /= prime[j];
		if(tmp > 1) add(k[id[tmp]]);
	}
	for(int i = 1; i <= cnt; ++i)
		ret = (2ll * k[i] + 1) * ret % Mod;
	printf("%d\n", ret);
    return 0;
}