【NOIP】提高组2013 火柴排队
【题意】两列n个火柴,分别有高度ai和bi(同一列高度互不相同),每次可以交换一列中的两个相邻火柴,定义距离为∑(ai-bi)^2,求使距离最小的最少交换次数,n<=10^5。
【算法】逆序对
【题解】∑(ai-bi)^2=∑ai^2+∑bi^2-∑ai*bi,其中∑ai^2和∑bi^2为常数,则要使∑ai*bi最大。
对于两个序列的∑ai*bi,根据排序不等式,有逆序和<=乱序和<=正序和。(可以理解为两数离得越近,乘积越大)
将两序列各自离散化后,问题转化为使两序列每位数字相等。
为了方便统计,换种角度说就是A数组的每个数字需要移动到一个对应的位置,所以我们设置C数组表示A数组中每个数应该去的位置。
(具体操作中最方便的方法是:A和B排序,然后C[A[i].id]=B[i].id)
那么实际上我们就是要通过交换使C数组升序排列,问题转化为通过最少次交换相邻数字使一个序列升序排列。
要使交换次数最少,就使每次交换消除一个逆序对。如果不存在相邻逆序对,可以证明序列已经升序排列。
所以答案是逆序对数,可以使用树状数组或归并排序求逆序对,复杂度O(n log n)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define lowbit(x) x&-x
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=,MOD=;//ji de qu mo
int read(){
char c;int s=,t=;
while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
return s*t;
}
int n,c[maxn],A[maxn];
struct cyc{int num,id;}a[maxn],b[maxn];
bool cmp1(cyc a,cyc b){return a.num<b.num;}
bool cmp2(cyc a,cyc b){return a.id<b.id;}
void insert(int x){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]++;}
int query(int x){int ans=;for(int i=x;i>=;i-=lowbit(i))ans+=c[i];return ans;}
int main(){
n=read();
for(int i=;i<=n;i++)a[i].num=read(),a[i].id=i;
for(int i=;i<=n;i++)b[i].num=read(),b[i].id=i;
sort(a+,a+n+,cmp1);sort(b+,b+n+,cmp1);
for(int i=;i<=n;i++)A[a[i].id]=b[i].id;
ll ans=;
for(int i=;i<=n;i++){
insert(A[i]);
ans+=i-query(A[i]);//
}
printf("%lld",ans%MOD);
return ;
}
记得取模!
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