51Nod--1051最大子矩阵和(DP入门)
我们把每一列第i行到第j行之间的和求出来,形成一个数组c,于是一个第i行到第j行之间的最大子矩阵和对应于这个和数组c的最大子段和。于是,我们的算法变为:
我们看看标为红色的部分 就是求每列第i行到第j行之间的所有数的和,我们没有再用一个循环求,而是随着j的增长,每次把第j行的结果叠加到之前的和上。 另外求c的最大子数组和是个线性时间算法,实际上它可以和那个k的for循环合并在一起,不过不影响时间复杂度。时间复杂度是O(M^2N)。
第1行:M和N,中间用空格隔开(2 <= M,N <= 500)。
第2 - N + 1行:矩阵中的元素,每行M个数,中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)
输出和的最大值。如果所有数都是负数,就输出0。
3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2
输出示例
7
解题思路:
把从i行到j行的数据按照列的顺序加和,得到一个数组,相当于进行了矩阵压缩。这样就转化为一维的最大子段和问题,会比较容易求解,和最大值比较,得到最后的结果。写的粗略了点,但是还是可以看得懂的,有时间再补充一个完全版的。
源代码:
<pre name="code" class="cpp">#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<deque>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<sstream>
#include<ctime>
using namespace std; typedef long long ll;
#define INF -0x3f3f3f3f; ll d[505][505];
ll result[505];
int M,N; void getSubMaxMatrix()
{
int i,j,k;
ll maxSubMaxMartix = INF;
ll temp = 0;
memset(result,0,sizeof(result));
for(i = 0 ; i < N; i++)//第i行
{
for(j = i; j < N; j++)//第j行
{
temp = 0;//每次压缩一维数组后用于计算最大子段和的临时变量
for(k = 0; k < M; k++)
{
//因为i比j小,最次也是相等,所以可以不用二维辅助数组先去求和
//因为递增关系的存在,可以直接利用上一次的result[k]
result[k] = (i == j) ? d[i][k] : result[k] + d[j][k];
//因为计算一次就已经更新好了result[k],所以直接计算一维的最大子段和也不会受影响
if(temp >= 0)
temp += result[k];
else
temp = result[k];
//最后比较一下最大值
if(temp > maxSubMaxMartix)
maxSubMaxMartix = temp;
}
}
}
printf("%lld\n",maxSubMaxMartix);
} int main()
{
int i,j;
scanf("%d%d",&M,&N);//N行M列
for(i = 0; i < N; i++)
{
for(j = 0; j < M; j++)
{
scanf("%lld",&d[i][j]);
}
}
getSubMaxMatrix();
return 0;
}
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