拓扑排序:AOV网

概念

example:选课问题:AOV网

顶点活动(Activity On Vertex)网是指用顶点表示活动,而用边集表示活动关系的有向图。
在这个例子中,课程为结点,而有向边表示着课程的依赖关系。

算法

1.定义一个队列Q,并把所有入度为0的结点加入队列

2.取队首结点,输出(存储)。然后删去所有从它出发的边(非必要),并令这些边达到的顶点的入度减1,如果某个顶点的入度减为0,则将其加入队列

3.反复进行步骤2,直到队列为空。如果此时入队次数恰好为N,说明排序成功,G为有向无环图;否则,拓扑排序失败,G有环。
(PS:如果要求有多个度为0的节点时,输出编号最小的点,可以使用优先队列)

关键路径:AOE网

边活动(Activity On Edge)网是指带权的边集表示活动,而用顶点表示事件的有向图,其中边权表示完成活动所需要的时间。

在上图中,每个顶点代表先前的事件已完成,可以进行下一个事件。

一般来说,AOE网用来表示一个工程的进行过程,AOE网中同样不能有环。
对于一个工程来说,多个子进程可以同时进行。

AOE网中入度为0的点名为源点(上图1),出度为0的点名为汇点上图2)。从所有源点出发,到达所有汇点所需的时间即为完成工程的总时间,也即为到达所有顶点所需的时间。

求解这个时间,即是要求解AOE网的最长路径,也叫作关键路径,关键路径上的活动就叫作关键活动。

拓扑排序就是其中一种可以解决该问题的算法。只需对AOV的算法稍加修改即可:
增加一个最早到达各顶点时间的数组。
在步骤2中,遍历一个顶点u指向的所有下一个顶点v时:
若:
\[
time[u]+weight_{uv}>time[v]
\]
则:
\[
time[v]:=time[u]+weight_{uv}
\]

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