《算法》C++代码 快速排序
快速排序,简称快排,常称QuickSort、QSort。在排序算法中非常常用,其编程复杂度低,时间复杂度O(NlogN),空间复杂度O(N),执行效率稳定,而且常数很低。
基本思想就是二分,例如你要将N个数排序,你调用了QSort(1,N)。那么快排会这样做:
1、找出一个数x
2、将N个数分成两部分,左边的都比x小,右边的都比x大
3、分别对两边调用QSort
很显然,这是二分,递归实现。
先说第二步,代码别写得太难看,时间复杂度就是O(N),扫一遍就可以了。于是,重点便是第一步——我们假设你找x的时间是O(1),那么如果你的x每次找到的都是中位数,那么算法时间就是O(NlogN);如果你的x每次找到的都是最边上的数(以至于你将N个数分成了1个和N-1个),那么算法时间就是O(N²)。因此,只有在优秀的选x方法下,快排才能保证O(NlogN)的复杂度。
我们来详细讨论一下第一步(下面分析“中位数”的实际含义,以及给出两种常见实现取法,高手可以跳过直接去看代码了~)。
我们理想情况是找中位数,但是你不可能真正去找中位数,因为那样的时间是O(N)。新手很头疼,“这咋整?”方法很简单:随便选一个就好了。
新手更头疼了……“你随便选一个,选的时间当然是O(1)了,可你凭什么保证算法复杂度不退化?”其实,我也不能保证算法不退化,但我知道从概率上说,我每次都随机选,大部分时候都没退化多少,结果就只有很低很低的概率退化成O(N²)。新手很鄙视,“如果我完全可以给你构造出一组数据,让你每次都选边上的啊!这样不就退化成O(N²)了吗? ”这点其实是不可能的。因为我不是固定选某个位置的数,而是随机选,所以你根本无法构造,我退化多少,只取决于概率。
新手要放弃了……“你这快排复杂度直接取决于概率,可我概统没学好,也不知道快排的退化概率是多少,我怎么敢用啊!万一我用的时候正好退化了咋办!”这点,便是我今天要重点和广大新手说的,你们接触到了一个算法中很重要的概念:随机算法。
算法复杂度,只是对算法一个很粗的描述。你知道一个算法的复杂度是O(N²),其实你只是知道它是两阶而已,根本不知道真正的复杂度。复杂度的常数是多少?是3N²、0.3N²,还是1.3N²?平时我们不分析,是因为我们都按照最大复杂度分析的。题目给你N=1000,你知道算法复杂度O(N²),又知道常数很大时(例如100)程序不到1s可以运行完,于是你便敢写了。可是现在不行了,算法是随机的,好的时候O(NlogN)常数还很小,坏的时候O(N²)常数还很大,你还敢不分析?
可能有人不敢用,觉得只要是概率就不能保证没问题,万一考试碰上就惨了。这种思想一般都是新手才会有,请你务必说服自己!我的理由很简单,概率太高我也不敢用,我的做法是,把概率降到比你某天出门被花盆意外砸死的概率还要低,我就敢用了,因为我确信我不会某天出门被花盆砸死。
当然,明确了这一点,现在的问题就是,不会分析怎么办?长远来看,你还是回去好好学学概率,再回来分析得好;短期来看,有没有简单些的方法呢?当然有,就是测试。你随机出很多很多数据,用你写的快排去测,发现他们最惨的也完全可以算作O(NlogN),那基本就没问题了,因为实际考试和实际应用数据情况也基本是这样。
好了,说了这么多,其实只是因为理解快排的思想是很多新手的一道门槛。我希望能通过自己多说些废话,帮助很多新手顺利迈过去。这样,对很多新手以后的算法之路都是有益无害的。下面让我们讨论第一步实际应当如何做:
必须明确,如果选择方法过于复杂,那么算法常数会变大;如果方法过于简单,那么算法复杂度会退化。因此综合考虑,加以分析和大量实测,比较常见的既好写又快的写法有两种。假设你有N个数A[1~N]:
1、x=mid(A[1],A[(1+N)/2],A[N]),mid是指取这三个数的中位数。这是最常用的一种方法,如果我没记错的话,这种算法也是C++算法库(algorithm)里面的写法。实际情况表明,这种取法效率很高。
2、x=A[randint(1,N)],也就是下标取1~N中随机一个数。这也是比较常用的一种方法,好处是真正保证了随机性,但坏处是生成随机数耗时比较高,会导致算法常数变大。
说了这么多,新手可能会觉得我还是没说明为什么快排的复杂度是O(NlogN)。我只能说,要分析快排复杂度需要很细的分析和大量的数据,有机会我会单独写一篇文章来分析的,现在我只能从概率上告诉你大部分时候都是O(NlogN),而且快排常数比堆排小不少(时间大概快一倍吧,没实测过,瞎说),能卡快排的数据你也暂时遇不到。我不敢说没有数据能卡快排,但我可以确定,如果不是特意要卡你,这样写快排一定没问题,反正我考试是敢用的。要是真有人死活卡你,那你就写堆排吧,常数大点,但确实不可能被卡。
下面给出我的代码:
inline void swap(int &a,int &b) { int t=a; a=b; b=t; } inline int mid(int a,int b,int c)
{
if(a>b) swap(a,b);
if(b>c) swap(b,c);
if(a>b) swap(a,b);
return b;
} void QSort(int A[],int l,int r) // ĺĺş
{
if(l>=r) return;
int i=l,j=r,x=mid(A[l],A[(l+r)>>],A[r]);
while(true)
{
while(i<=r && A[i]<x) ++i;
while(l<=j && A[j]>x) --j;
if(i>j) break;
swap(A[i],A[j]); ++i; --j;
}
QSort(A,l,j); QSort(A,i,r);
}
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