预备篇 I ：范畴与函子

拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

拓扑是集合上的一种结构。

拓扑英文名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。

“代数拓扑的基本观点：几何对象的代数照相。这种照相是用范畴与函子的语言来表达的。”

——姜伯驹

范畴和函子（尤其是函子）主要是由代数拓扑引出的概念，主要目的是用一种更抽象统一的语言来描述关于拓扑空间的不变量，也就是如果能用函子把两个范畴（例如拓扑空间范畴和群范畴）联系起来，那么一个范畴中的对象（拓扑空间）在函子作用下所对应的另一个范畴中的对象（基本群）就是这个对象（拓扑空间）的不变量。（因为我们拓扑学中知道，两个拓扑空间同胚，那么它们的基本群同构）

注：初学者可先看本文第三部分，再看一、二。

【一】范畴

【范畴】什么是范畴？简单来说，一个范畴 $\cal C$ 由两个集合组成：

（1）一些对象构成的一个类 $ob({\cal C})$ ；

（2） $ob({\cal C})$ 中附加上每个对象之间的所有态射 $Hom(A,B)$ 构成的族。

并且满足：态射间的复合律（ $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的态射， $g$ 为 $Y$ 到 $Z$ 的态射，那么 $g\circ f$ 为 $X$ 到 $Z$ 的态射，且运算“ $\circ$ ”是结合的）；以及存在每个对象 $X$ 到自己的恒同态射 $1_X$ （ $f \circ 1_X=f$ ， $1_X\circ g=g$ ）。

举几个例子：

1. 所有群以及群之间的同态映射构成一个范畴（其中，每个对象是群，两个对象之间的所有态射就是这两个群之间的所有同态映射），称为群范畴；

2. 所有线性空间以及线性空间的线性映射构成一个范畴（其中，每个对象是线性空间，两个对象减的所有态射就是这两个线性空间的所有线性映射），称为线性空间范畴；

3. 所有拓扑空间以及拓扑空间的连续映射构成一个拓扑空间范畴；

4. 所有微分流形以及微分流形之间的光滑映射构成一个微分流形范畴；

......

【同构】如何描述范畴中两个对象是“一样”的？引入同构的概念：范畴 $\cal C$ 中的两个对象 $X$ 、 $Y$ 间如果存在一个态射 $f \in Hom(X,Y)$ 以及另一个态射 $g \in Hom(Y,X)$ ，满足 $g\circ f=1_X$ （恒同态射）且 $f\circ g=1_Y$ （恒同态射），则称这两个对象同构，称 $f$ 、 $g$ 为同构态射。

【积与余积】如何由一个范畴中几个对象生成一个更大的对象呢？我们引入积与余积的概念：可以简单理解成，范畴中任意多个空间的积（Product）就是通常所说的直积（笛卡尔积）的推广，记为 $\prod_{i\in I}{X_i}$ ；而任意多个空间的余积（Coproduct）是直和的推广，记为 $\coprod_{i\in I}{X_i}$ 或 $\bigoplus_{i\in I}{X_i}$ 。

（注意：在一个范畴中，积与余积不一定存在！但若存在，则积（余积）在同构意义下唯一，此时称该范畴为积范畴（余积范畴））

例如：

1. 集合范畴里的积就是通常意义下的笛卡尔积，余积是不交并；

2. 群范畴和环范畴里面的积就是直积，余积是自由积；

3. 模范畴里面的积就是笛卡尔积，余积是有限多对象做笛卡尔积；

4. 线性空间范畴里面的积就是笛卡尔积，余积是有限多对象做笛卡尔积；

5. 拓扑空间范畴里面的积就是笛卡尔积，余积是拓扑和。

积与余积的严格定义可以参考下图：

【二】函子

【引入】先来做个填空题：

两个____空间存在同态，那么它们对应的两个____空间存在同态。

我们可以填写如下：

两个拓扑空间存在连续映射（同胚），那么它们对应的基本群同态（同构）；

两个拓扑空间存在连续映射（同胚），那么它们对应的奇异同调群同态（同构）；

两个微分流形存在光滑映射（微分同胚），那么它们对应的deRham上同调群同态（同构）；

两个李群同态（同构），那么它们对应的李代数同态（同构）；

......

我们把这些关系抽象成一个更一般的形式，也就是所谓的“函子”。

【函子的定义】函子是两个范畴之间的一种映射（关系）。它把对象映射到对象，态射映射到态射。函子分为协变函子与反变函子，先给出协变函子的具体定义：

给定范畴 $\cal C$ 和 $\cal D$ ，如果它们之间存在一个映射 $F:{\cal C}\rightarrow {\cal D}$ ，满足：

1. 对象到对象： $F$ 把 $\cal C$ 中对象 $X$ 映射到 $F(X)\in{\cal D}$ ；

2. 态射到态射： $F$ 把 $\cal C$ 中态射 $f:X\rightarrow Y$ 映射到 $\cal D$ 中态射 $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)$ ，且满足：

（1）（恒等律）恒等态射映到恒等态射： $F(id_X)=id_{F(X)}$ ；

（2）（复合律） $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ 。

则称映射 $F$ 为范畴 $\cal C$ 到范畴 $\cal D$ 的一个协变函子。

至于反变函子，只是把定义第2条中“ $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)$ ”改为 $F(f):F(Y)\rightarrow F(X)$ ，其它类似。

【函子的性质】函子最主要有两条性质，也就是：

1. 函子把同构态射到同构态射；

2. $\cal C$ 和 $\cal D$ 存在一个函子 $F$ ， $\cal D$ 和 $\cal E$ 存在一个函子 $G$ ，则 $G\circ F$ 是 $\cal C$ 到 $\cal E$ 的一个函子。

这样，我们再重新看一下“引入”中的例子，把前者和后者分别当成一个范畴，那么它们之间存在一个函子。

例如，拓扑空间范畴 $\cal C$ 到Abel群范畴 $\cal D$ 有一个函子 $F$ ，把 $ob({\cal C})$ 中两个拓扑空间 $X$ 、 $Y$ （对象）分别映射到它们的奇异同调群 $H_q(X)=F(X)$ 和 $H_q(Y)=F(Y)$ （ $ob({\cal D})$ 中两个对象），且把 $X$ 到 $Y$ 的任一连续映射 $f$ （态射）映射到 $f_*$ 为 $H_q(X)$ 到 $H_q(Y)$ 的同态 $f_*=F(f)$ （态射）。

【三】关于代数拓扑

先提个基本问题，什么是拓扑空间以及为什么研究拓扑空间？

可以说拓扑空间是几何学（广义所指，包含拓扑学）的基础。现代几何学研究的东西都是在某个特定的拓扑空间上展开的，或者说：几何学的基本对象就是拓扑空间。

比如流形，其就是局部同胚于欧式空间的 $T_2$ 拓扑空间（又称Hausdorff空间）；再比如前两篇我们谈的微分流形，其实质就是赋有微分结构的流形；再比如微分几何，其研究的也是赋有某种特定结构（比如黎曼度量，联络，张量场等等）的微分流形。

那么，什么是拓扑空间呢？拓扑空间有如下严格定义：设 $X$ 是一个非空集合，它的一个子集族 $\tau$ 满足：（1） $\varnothing$ 、 $X$ 在 $\tau$ 中；（2）对任意并封闭；（3）对任意交封闭。则称集合 $X$ 为一个赋有拓扑结构 $\tau$ 的拓扑空间，记为 $(X,\tau)$ 。

什么又是代数拓扑？

拓扑学（尤其是代数拓扑）是几何学的一个分支，其最终目的是为了找一些拓扑不变量对拓扑空间进行分类。因为点集拓扑中的不变量，诸如连通性、紧致性等等这些不变量实在不够用，所以我们想通过找一些和拓扑空间有关的代数空间（有代数结构的拓扑不变量，即在拓扑空间同胚下同构），通过认识代数空间的结构来认识原来拓扑空间的性质，并在此基础上将拓扑空间进行分类。

用范畴和函子的语言来描述就是，找到一个代数空间范畴，使得拓扑空间范畴到这个代数空间范畴之间有一个函子（因为函子把拓扑空间的连续映到代数空间的同态，且把拓扑空间的同胚映到代数空间的同构）。

而我们更大的梦想是找到一个代数空间范畴，使得这个范畴到拓扑空间范畴之间有一个函子！但是找了几十年还是没有找到这样的范畴。（但在一些特定的拓扑空间中，我们确实做到了）

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