XIII Open Cup named after E.V. Pankratiev. GP of Azov Sea

A. Freestyle

如果逆序对为$0$，那么先手必败。

因为每次只能翻转长度为$4k+2$和$4k+3$的区间，所以每次操作之后逆序对的奇偶性一定会发生改变。

因此如果逆序对个数为偶数，则先手必败。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<time.h>
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int>pi;
int a[233];
int main(){
	int n;scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(a[i]<a[j])tot^=1;
		}
	}
	puts(tot?"First":"Second");
	return 0;
}

　　

B. Checkout lines

从后往前贪心构造。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;

typedef long long LL ;
typedef pair < int , int > pii ;

#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )

const int MAXN = 100005 ;
const int MAXE = 100005 ;

int a[MAXN] ;
int b[MAXN] ;
int c[MAXN] ;
int vis[MAXN] ;
int n ;

void solve () {
	int ok = 0 ;
	clr ( vis , 0 ) ;
	for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
		scanf ( "%d" , &a[i] ) ;
	}
	for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
		scanf ( "%d" , &b[i] ) ;
	}
	if ( n == 1 ) {
		printf ( "-1\n" ) ;
		return ;
	}
	for ( int i = n ; i >= 1 ; -- i ) {
		if ( !vis[i] ) {
			if ( b[i] == a[i] ) {
				ok = 1 ;
				if ( i < n ) {
					c[i] = c[i + 1] ;
					c[i + 1] = b[i] ;
					vis[i] = 1 ;
				} else {
					c[i - 1] = b[i] ;
					vis[i - 1] = 1 ;
				}
			} else {
				c[i] = b[i] ;
				vis[i] = 1 ;
			}
		} else {
			vis[i + 1] = 1 ;
			c[i + 1] = b[i] ;
		}
	}
	printf ( "%d\n" , ok ) ;
	for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
		i > 1 && putchar ( ' ' ) ;
		printf ( "%d" , c[i] ) ;
	}
	puts ( "" ) ;
}

int main () {
	while ( ~scanf ( "%d" , &n ) ) solve () ;
	return 0 ;
}

　　

C. Heli-ski

如果$n$比较大，那么$\sum$比较小。

求出每个点向上能延伸的长度，枚举每个点向上这条线段作为短板。

算出完全可选的碎片的长度之和以及不能完全选，左边右边最大次大延伸距离，更新答案。

时间复杂度$O(n\sum^2)$。

如果$n$比较小，那么暴力枚举上下边界，计算答案方法同上。

时间复杂度$O(n^2\sum)$。

总时间复杂度$O(n\sum\sqrt{n\sum})$。

最后再用悬线法找出最大全$0$矩阵即可。

#include<cstdio>
const int N=100010,M=320;
int num,n,m,i,j,k,x,cnt,FL0,GL0,GL1,FL1,FR0,GR0,GR1,FR1,GL,GR,ans=-1,UP,DOWN,LEFT,RIGHT;
bool vis[N];
int all,seq[N],old;
inline void ext(int x){
  if(x<1||x>num)return;
  if(vis[x])return;
  vis[x]=1;
  seq[++all]=x;
}
inline void up(int&f0,int&g0,int&f1,int&g1,int x,int y){
  if(x>f0){f1=f0;g1=g0;f0=x;g0=y;return;}
  if(x>f1){f1=x;g1=y;}
}
inline void uans(int x,int l,int r,int a,int b){
  if(ans>=x)return;
  ans=x;
  UP=l,DOWN=r;
  LEFT=a,RIGHT=b;
}
namespace NSMALL{
int st[N],en[N],f[N],g[N],w[N];char a[M][N],b[M][N],s[N];
void solve(){
  for(i=1;i<=num;i++){
    scanf("%d",&x);
    st[i]=m+1;
    en[i]=m+x;
    for(j=1;j<=n;j++){
      scanf("%s",s);
      for(k=0;k<x;k++)a[j][k+st[i]]=s[k]-'0';
    }
    m+=x;
  }
  for(i=1;i<=m;i++)f[i]=1,g[i]=m,w[i]=0;
  for(i=1;i<=n;i++){
    for(k=1;k<=num;k++)f[k]=en[k],g[k]=st[k];
    for(j=i;j<=n;j++){
      cnt=FL0=GL0=GL1=FL1=FR0=GR0=GR1=FR1=0;
      for(k=1;k<=num;k++){
        for(x=st[k];x<=en[k];x++)if(a[j][x])break;
        if(f[k]>x-1)f[k]=x-1;
        for(x=en[k];x>=st[k];x--)if(a[j][x])break;
        if(g[k]<x+1)g[k]=x+1;
        if(f[k]==en[k]){cnt+=en[k]-st[k]+1;continue;}
        up(FL0,GL0,FL1,GL1,f[k]-st[k]+1,k);
        up(FR0,GR0,FR1,GR1,en[k]-g[k]+1,k);
      }
      if(GL0!=GR0)uans((j-i+1)*(cnt+FL0+FR0),i,j,GR0,GL0);else{
        uans((j-i+1)*(cnt+FL0+FR1),i,j,GR1,GL0);
        uans((j-i+1)*(cnt+FL1+FR0),i,j,GR0,GL1);
      }
    }
  }
  ext(LEFT);
  for(i=UP;i<=UP;i++){
    for(k=1;k<=num;k++)f[k]=en[k],g[k]=st[k];
    for(j=i;j<=n;j++){
      cnt=FL0=GL0=GL1=FL1=FR0=GR0=GR1=FR1=0;
      for(k=1;k<=num;k++){
        for(x=st[k];x<=en[k];x++)if(a[j][x])break;
        if(f[k]>x-1)f[k]=x-1;
        for(x=en[k];x>=st[k];x--)if(a[j][x])break;
        if(g[k]<x+1)g[k]=x+1;
        if(f[k]==en[k]&&j==DOWN)ext(k);
      }
    }
  }
  ext(RIGHT);
  for(i=1;i<=num;i++)ext(i);
  m=0;
  for(i=1;i<=num;i++){
    printf("%d%c",seq[i],i<num?' ':'\n');
    for(j=1;j<=n;j++)for(k=st[seq[i]];k<=en[seq[i]];k++)b[j][m+k-st[seq[i]]+1]=a[j][k];
    m+=en[seq[i]]-st[seq[i]]+1;
  }
  for(i=1;i<=m;i++)f[i]=1,g[i]=m,w[i]=0;
  ans=-1;
  for(i=1;i<=n;i++){
    for(GL=j=1;j<=m;j++)if(!b[i][j]){
      w[j]++;
      if(GL>f[j])f[j]=GL;
    }else w[j]=0,f[j]=1,g[j]=m,GL=j+1;
    for(GR=j=m;j;j--)if(!b[i][j]){
      if(GR<g[j])g[j]=GR;
      uans(w[j]*(g[j]-f[j]+1),i-w[j]+1,f[j],i,g[j]);
    }else GR=j-1;
  }
  printf("%d %d %d %d",UP,DOWN,LEFT,RIGHT);
}
}
namespace NBIG{
int st[M],en[M],f[M],g[M],w[M];char a[N][M],b[N][M],s[M];
void solve(){
  for(i=1;i<=num;i++){
    scanf("%d",&x);
    st[i]=m+1;
    en[i]=m+x;
    for(j=1;j<=n;j++){
      scanf("%s",s);
      for(k=0;k<x;k++)a[j][k+st[i]]=s[k]-'0';
    }
    m+=x;
  }
  for(i=1;i<=m;i++)f[i]=1,g[i]=m,w[i]=0;
  for(i=1;i<=n;i++){
    for(j=1;j<=m;j++)if(a[i][j])w[j]=0;else w[j]++;
    for(j=1;j<=m;j++)if(w[j]){
      cnt=FL0=GL0=GL1=FL1=FR0=GR0=GR1=FR1=0;
      for(k=1;k<=num;k++){
        for(x=st[k];x<=en[k];x++)if(w[x]<w[j])break;
        f[k]=x-1;
        for(x=en[k];x>=st[k];x--)if(w[x]<w[j])break;
        g[k]=x+1;
        if(f[k]==en[k]){cnt+=en[k]-st[k]+1;continue;}
        up(FL0,GL0,FL1,GL1,f[k]-st[k]+1,k);
        up(FR0,GR0,FR1,GR1,en[k]-g[k]+1,k);
      }
      if(GL0!=GR0)uans(w[j]*(cnt+FL0+FR0),i,j,GR0,GL0);else{
        uans(w[j]*(cnt+FL0+FR1),i,j,GR1,GL0);
        uans(w[j]*(cnt+FL1+FR0),i,j,GR0,GL1);
      }
    }
  }
  ext(LEFT);
  for(i=1;i<=n;i++){
    for(j=1;j<=m;j++)if(a[i][j])w[j]=0;else w[j]++;
    for(j=1;j<=m;j++)if(w[j]){
      cnt=FL0=GL0=GL1=FL1=FR0=GR0=GR1=FR1=0;
      for(k=1;k<=num;k++){
        for(x=st[k];x<=en[k];x++)if(w[x]<w[j])break;
        f[k]=x-1;
        for(x=en[k];x>=st[k];x--)if(w[x]<w[j])break;
        g[k]=x+1;
        if(f[k]==en[k])if(i==UP&&j==DOWN)ext(k);
      }
    }
  }
  ext(RIGHT);
  for(i=1;i<=num;i++)ext(i);
  m=0;
  for(i=1;i<=num;i++){
    printf("%d%c",seq[i],i<num?' ':'\n');
    for(j=1;j<=n;j++)for(k=st[seq[i]];k<=en[seq[i]];k++)b[j][m+k-st[seq[i]]+1]=a[j][k];
    m+=en[seq[i]]-st[seq[i]]+1;
  }
  for(i=1;i<=m;i++)f[i]=1,g[i]=m,w[i]=0;
  ans=-1;
  for(i=1;i<=n;i++){
    for(GL=j=1;j<=m;j++)if(!b[i][j]){
      w[j]++;
      if(GL>f[j])f[j]=GL;
    }else w[j]=0,f[j]=1,g[j]=m,GL=j+1;
    for(GR=j=m;j;j--)if(!b[i][j]){
      if(GR<g[j])g[j]=GR;
      uans(w[j]*(g[j]-f[j]+1),i-w[j]+1,f[j],i,g[j]);
    }else GR=j-1;
  }
  printf("%d %d %d %d",UP,DOWN,LEFT,RIGHT);
}
}
int main(){
  scanf("%d%d",&num,&n);
  uans(0,1,n,0,0);
  if(n<=315)NSMALL::solve();else NBIG::solve();
  return 0;
}

　　

D. Apres-ski

打表即可发现规律。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<time.h>
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int>pi;
LL a[4];
/*
int dp[2][10][10][10];
int dfs(int cur,int t1,int t2,int t3){
	int &t=dp[cur][t1][t2][t3];
	if(t>=0)return t;

}
*/
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		int res=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			scanf("%lld",a+i);
			if(a[i]&1)res^=1;
		}
		sort(a,a+3);
		if(n<=2){
			puts((!res)?"2":"1");
		}
		else{
			if(res&1){
				puts("1");
			}
			else{
				if((a[0]&1)&&(a[0]+1==a[1]))puts("1");
				else if((a[1]&1)&&(a[1]+1==a[2]))puts("1");
				else puts("2");
			}
		}
	}
	return 0;
}

　　

E. Land in Krasnaya Polyana

建立二分图，将行放左边，列放右边，中间连$n\times m$条边，权值为$c[i][j]$，一共有$n+m$个点，而我们要选出$n+m$条边，因此答案就是最小生成环套外向森林。

类似最小生成树Kruskal算法，贪心选小的边，能加就加，用并查集维护每个连通块是否多了一条边。

时间复杂度$O(nm\log(nm))$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int N=1000010;
int n,m,i,j,z,x,y,cnt,f[N],v[N];long long ans;
struct E{int x,y,z;E(){}E(int _x,int _y,int _z){x=_x,y=_y,z=_z;}}e[N];
inline bool cmp(const E&a,const E&b){return a.z<b.z;}
int F(int x){return f[x]==x?x:f[x]=F(f[x]);}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&z),e[++cnt]=E(i,j+n,z);
  std::sort(e+1,e+cnt+1,cmp);
  for(i=1;i<=n+m;i++)f[i]=i;
  for(i=1;i<=cnt;i++){
    x=F(e[i].x),y=F(e[i].y);
    if(v[x]&&v[y])continue;
    if(x!=y)v[y]|=v[x],f[f[x]]=f[y];else v[x]=1;
    ans+=e[i].z;
  }
  return printf("%lld",ans),0;
}

　　

F. Transfer

对于每个人求出他留在车上的概率，这等于他睡着的概率$+$他醒着的概率$+1-$他下车了并且没被叫回来的概率。

每个人下车了并且没被叫回来的概率可以用两次树形DP求出，时间复杂度$O(n)$。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<time.h>
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int>pi;
const int Maxn=50020;
int n;
int pa[Maxn],pb[Maxn],pc[Maxn];
double ans;
double dp1[Maxn],dp2[Maxn],val1[Maxn];
vector<int>G[Maxn];
void dfs1(int u,int p){
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];if(v==p)continue;
		dfs1(v,u);
	}
	dp1[u]=1;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];if(v==p)continue;
		dp1[u]*=(1.0-dp1[v]);
	}
	dp1[u]=1.0-dp1[u];
	val1[u]=dp1[u];
	dp1[u]=(pb[u]/100.0)+dp1[u]*(pc[u]/100.0);
}
double pre[Maxn],suf[Maxn];
void dfs2(int u,int p){
	//printf("u=%d val1=%.12f\n",u,val1[u]);
	ans+=(1-(1.0-dp2[u])*(1.0-val1[u]))*(pc[u]/100.0);
	pre[0]=1;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];if(v==p){pre[i+1]=pre[i];continue;}
		pre[i+1]=pre[i]*(1.0-dp1[v]);
	}
	suf[G[u].size()]=1;
	for(int i=G[u].size()-1;i>=0;i--){
		int v=G[u][i];if(v==p){suf[i]=suf[i+1];continue;}
		suf[i]=suf[i+1]*(1.0-dp1[v]);
	}
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];if(v==p)continue;
		dp2[v]=pb[u]/100.0+
			pc[u]/100.0*
			(1.0-pre[i]*suf[i+1]*(1.0-dp2[u]));
	}
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];if(v==p)continue;
		dfs2(v,u);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",pa+i,pb+i,pc+i),ans+=(pa[i]+pb[i])/100.0;
	//printf("ans=%.2f\n",ans);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,0);
	//for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.12f ",dp2[i]);puts("");
	printf("%.12f\n",n-ans);
	return 0;
}

　　

G. Building ski lifts

不断重复贪心配对即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;

typedef long long LL ;
typedef pair < int , int > pii ;

#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )

const int MAXN = 105 ;
const int MAXE = 100005 ;

int G[MAXN][MAXN] ;
int in[MAXN] , ou[MAXN] , a[MAXN] ;
pair < int , int > p[MAXN] ;
int cnt ;
int n , m ;

void solve () {
	clr ( G , 0 ) ;
	for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
		in[i] = ou[i] = 0 ;
		scanf ( "%d" , &a[i] ) ;
	}
	for ( int i = 1 ; i <= m ; ++ i ) {
		int u , v ;
		scanf ( "%d%d" , &u , &v ) ;
		in[v] ++ ;
		ou[u] ++ ;
	}
	if ( n == 1 ) {
		printf ( "0\n0\n" ) ;
		return ;
	}
	int sum = 0 , num = 0 ;
	while ( 1 ) {
		cnt = 0 ;
		for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
			if ( !in[i] || !ou[i] ) {
				p[++ cnt] = pii ( a[i] , i ) ;
			}
		}
		sort ( p + 1 , p + cnt + 1 ) ;
		for ( int i = 1 ; i < cnt ; ++ i ) {
			int u = p[i].second , v = p[i + 1].second ;
			G[u][v] = 1 ;
			sum += p[i + 1].first - p[i].first ;
			num ++ ;
			in[v] ++ ;
			ou[u] ++ ;
		}
		int ok = 1 ;
		for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
			if ( !in[i] || !ou[i] ) ok = 0 ;
		}
		if ( ok ) break ;
	}
	printf ( "%d\n%d\n" , sum , num ) ;
	for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
		for ( int j = 1 ; j <= n ; ++ j ) {
			if ( G[i][j] ) printf ( "%d %d\n" , i , j ) ;
		}
	}
}

int main () {
	while ( ~scanf ( "%d%d" , &n , &m ) ) solve () ;
	return 0 ;
}

　　

H. The lost key

留坑。