[数学]高数部分-Part III 中值定理与一元微分学应用

Part III 中值定理与一元微分学应用

• 回到总目录

• Part III 中值定理与一元微分学应用
  • 1. 中值定理
    • 费马定理
    • 罗尔定理
    • 拉格朗日中值定理
    • 柯西中值定理
    • 柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系
    • 涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理
    • 罗尔定理的应用范式
    • 罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径
  • 2. 单调性与极值
    • 导数的几何应用有哪些
    • 极值的定义需要注意的地方
    • 广义极值
    • 狭义极值（真正极值）
    • 单调性与极值判别
  • 3. 零碎问题
    • 函数的凹凸性
    • 函数拐点
    • 拐点判别法
    • 铅直渐近线
    • 水平渐近线
    • 斜渐近线
    • 曲率与曲率半径
    • 弧微分
    • 函数的最值的求法

1. 中值定理

费马定理

\[设f(x)在x=x_{0}处 \begin{cases}
1) & 可导 \\
2) & 取极值
\end{cases} \Rightarrow {f}'(x_{0})=0
\]

• Back to TOC

罗尔定理

\[设f(x)满足以下三个条件 \begin{cases}
1) & [a,b]连续 \\
2) & (a,b)可导 \\
3) & f(a)=f(b)
\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=0
\]

• Back to TOC

拉格朗日中值定理

\[设f(x)满足以下两个条件 \begin{cases}
1) & [a,b]连续 \\
2) & (a,b)内可导
\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]

• Back to TOC

柯西中值定理

\[设f(x)，g(x)满足 \begin{cases}
1) & [a,b]连续 \\
2) & (a,b)内可导 \\
3) & {g}'(x)\neq0
\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 \frac{{f}'(\xi)}{{g}'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\]

• Back to TOC

柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系

柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 罗尔定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理

• Back to TOC

涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理

有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理

• Back to TOC

罗尔定理的应用范式

\(f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0\)

• Back to TOC

罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径

关键：\(F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0\)

两个途径：

1. 求导公式逆用法
2. 积分还原法
   1. 将欲证结论中的\(\xi 改为 x\)
   2. 积分，令c=0
   3. 移项，使等式一端为0，则另一端记为F(x)

• Back to TOC

2. 单调性与极值

导数的几何应用有哪些

三点两性一线：极值点、最值点、拐点；单调性，凹凸性；渐近线

• Back to TOC

极值的定义需要注意的地方

必须是双侧定义，否则不考虑极值

• Back to TOC

广义极值

\(\exists x_{0}的某个邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)

• Back to TOC

狭义极值（真正极值）

\(\exists x_{0}的某个【去心】邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)

• Back to TOC

单调性与极值判别

1. \(若{f}'(x)>0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递减；\)
2. \[ 若f(x)在x= x_{0}处连续，在U(x_{0}, \delta)内可导，则\begin{cases}
   当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)<0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)>0，\Rightarrow 极小 \\
   当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)>0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)<0，\Rightarrow 极大 \\
   若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})与(x_{0}, x_{0}+\delta)内不变号 \Rightarrow 不是极值
   \end{cases}
   \]
3. \(若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 极小值；若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 极大值\)

• Back to TOC

3. 零碎问题

函数的凹凸性

\[\forall x_1, x_2 \in I, 有:\begin{cases}
\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凹曲线 \\
\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凸曲线
\end{cases}
\]

• Back to TOC

函数拐点

连续曲线凹凸弧的分界点

• Back to TOC

拐点判别法

设f(x)在I上二阶可导

1. \(
   \begin{cases}
   若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的 \\
   若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的
   \end{cases}
   \)
2. \(若f(x)在x_0点的左右邻域{f}''(x)变号 \Rightarrow (x_0,f(x_0))为拐点\)

• Back to TOC

铅直渐近线

\(若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，则称x=x_0为f(x)的一条铅直渐进线\)

出现在：无定义点 || 开区间端点

• Back to TOC

水平渐近线

\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，则称y=A为f(x)的一条水平渐进线\)

• Back to TOC

斜渐近线

\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,则称y=ax+b为f(x)的一条斜渐进线\)

• Back to TOC

曲率与曲率半径

1. 曲率：\(k = \frac{|y''|}{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}\)
2. 曲率半径：\(R = \frac{1}{k} = \frac{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}{|y''|}\)

弧微分

1. 直角坐标系下的弧微分公式：\(L:\ y=f(x)\)

\[ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}
= \sqrt{1 + {\frac{dy}{dx}^2}}dx
= \sqrt{1+f^{'2}(x)}dx
\]

1. 参数方程下的弧微分公式：$ L:\ \begin{cases}
   
   x = \varphi(t) \
   
   y = \varphi(t)
   
   \end{cases}$

\[ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}
= \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt
= \sqrt{\varphi ^{'2}(t) = \varphi ^{'2}(t)}dt
\]

函数的最值的求法

1. $
   
   对于函数f(x)，在[a,b]上找出三类点\begin{cases}
   
   {f}'x=0 \Rightarrow x_0驻点 \
   
   {f}'(x)!\exists \Rightarrow不可导点 \
   
   端点a,b
   
   \end{cases}
   
   $
   
   \(比较f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值为最大(最小)值\)
2. \(若在I上求出唯一极大(极小)值点，则由实际背景确定最大(小)值\)

• Back to TOC