「算法笔记」2-SAT 问题

一、定义

k-SAT（Satisfiability）问题的形式如下：

有 \(n\) 个 01 变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，另有 \(m\) 个变量取值需要满足的限制。
每个限制是一个 \(k\) 元组 \((x_{p_1},x_{p_2},\cdots,x_{p_k})\)，满足 \(x_{p_1}\oplus x_{p_2}\oplus\cdots\oplus x_{p_k}=a\)。其中 \(a\) 为 \(0\) 或 \(1\)，\(\oplus\) 是某种二元 bool 运算（如或运算 \(\vee\)、与运算 \(\wedge\)）。
要求构造一种满足所有限制的变量的赋值方案。

当 \(k>2\) 时该问题为 NP 完全的，只能暴力求解。因此一般讨论的是 \(k=2\) 的情况，即 2-SAT 问题。

二、基本思想

\(m\) 个限制，每个限制的形式都是「\(x_i\) 为真/假或 \(x_j\) 为真/假」。

对于变量 \(x_i\)，建立两个点 \(i\) 与 \(i+n\)，分别表示 \(x_i\) 为真、\(\neg x_i\) 为真。

若 \(x\) 为真，则 \(\neg x\) 为假；若 \(\neg x\) 为假，则 \(x\) 为真。反之亦然。显然 \(x\) 和 \(\neg x\) 是互斥的。即，点 \(i\) 与 \(i+n\) 分别表示 \(x_i\) 为真或假。

对变量关系建有向图。有向边 \(u\to v\) 表示，若 \(u\) 为真，则 \(v\) 一定为真。

具体地，对于每个限制 \((a\vee b)\)（变量 \(a,b\) 至少满足一个），可将其转化为 \(\neg a\rightarrow b\wedge\neg b\rightarrow a\)（\(a\) 为假则 \(b\) 一定为真；\(b\) 为假则 \(a\) 一定为真）。即节点 \(\neg a\) 向节点 \(b\) 连边，从节点 \(\neg b\) 向节点 \(a\) 连边。

考虑节点 \(i\) 与 \(i+n\) 在图中的关系。若它们 互相可达，即在 同一个强连通分量 中，则说明在赋值限制下，它们代表的一对互斥取值会同时被取到。则不存在一组合法的赋值方案。

否则，说明有解，考虑如何构造一组合法解。

首先，对建出的图进行缩点得到一个 DAG。考虑节点 \(i\) 与 \(i+n\) 所在强连通分量的 拓扑关系。若两分量不连通，则 \(x_i\) 取任意值（真或假）。否则只能取属于拓扑序较大的分量的值。因为若取拓扑序较小的值，可以根据逻辑关系推出取另一个值也是同时发生的。

三、具体实现

以 Luogu P4782 【模板】2-SAT 问题为例。

对于每个限制 \((a\vee b)\)（变量 \(a,b\) 至少满足一个），节点 \(\neg a\) 向节点 \(b\) 连边，从节点 \(\neg b\) 向节点 \(a\) 连边。
用 Tarjan 算法对建出的图缩点。
对于 \(i\in [1,n]\)，若 \(i\) 与 \(i+n\) 在同一个强连通分量中，则不存在一组合法的赋值方案。
否则，根据 Tarjan 求得的强连通分量的标号为拓扑逆序（Tarjan 算法求强连通分量时使用了栈），即反向的拓扑序，可以得到 \(x_i\) 的值（取 \(i\) 与 \(i+n\) 所在强连通分量拓扑序较大的点的值）。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e6+5;
int n,m,x,a,y,b,cnt,hd[N],to[N<<1],nxt[N<<1],tot,c[N],top,s[N],num,dfn[N],low[N];
void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt;
}
void tarjan(int x){
    dfn[x]=low[x]=++num,s[++top]=x;
    for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(!dfn[y]) tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
        else if(!c[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(low[x]==dfn[x]){
        c[x]=++tot;
        while(s[top]!=x) c[s[top--]]=tot;
        --top;
    }
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&y,&b);
        if(a&&b) add(x+n,y),add(y+n,x);
        if(!a&&b) add(x,y),add(y+n,x+n);
        if(a&&!b) add(x+n,y+n),add(y,x);
        if(!a&&!b) add(x,y+n),add(y,x+n);
    }
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(c[i]==c[i+n]) puts("IMPOSSIBLE"),exit(0);
    puts("POSSIBLE");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d%c",c[i]<c[i+n],i==n?'\n':' ');    //Tarjan 求得的强连通分量的标号为拓扑逆序，即反向的拓扑序
    return 0;
}