[atAGC106F]Figures
考虑purfer序列,若生成树的pufer序列为$p_{i}$,则答案为$(\prod_{i=1}^{n}a_{i})\sum_{p}\prod_{i=1}^{n}\frac{(a_{i}-1)!}{(a_{i}-1-s_{i})!}$(其中$s_{i}$为$p$中点$i$出现的次数,即度数减1)
(以下令$a_{i}$减1)观察到式子只与$s_{i}$有关,对于相同的$s_{i}$对应$p_{i}$有$\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}s_{i}!}$种,令$C=(n-2)!\prod_{i=1}^{n}a_{i}$,代入即$ans=C\sum_{\sum_{i=1}^{n}s_{i}=n-2}\prod_{i=1}^{n}\frac{a_{i}!}{s_{i}!(a_{i}-s_{i})!}$
令$f(x)=\sum_{k=0}^{n-2}(\sum_{\sum_{i=1}^{n}s_{i}=k}\frac{a_{i}!}{s_{i}!(a_{i}-s_{i})!})x^{k}=\sum_{s_{i}}\prod_{i=1}^{n}\frac{a_{i}!}{s_{i}!(a_{i}-s_{i})!}\cdot x^{s_{i}}$,答案即$f(x)[x^{n-2}]$
不妨先枚举$s_{1},s_{2},..$,再提取出对应位置上的式子作为公因式,之后由于各位上完全独立,再将结果乘起来就是原式,即$f(x)=\prod_{i=1}^{n}\sum_{s_{i}=0}^{a_{i}}\frac{a_{i}!}{s_{i}!(a_{i}-s_{i})!}\cdot x^{s_{i}}=(1+x)^{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}$
因此$f(x)[x^{n-2}]=c(\sum_{i=1}^{n}a_{i},n-2)$(注意这里的$a_{i}$减了1),发现$(n-2)!$已经被抵消掉,因此直接枚举$\sum_{i=1}^{n}a_{i}$到$\sum_{i=1}^{n}a_{i}-(n-2)+1$即可
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define mod 998244353
4 int n,x,s,ans;
5 int main(){
6 scanf("%d",&n);
7 ans=1;
8 for(int i=1;i<=n;i++){
9 scanf("%d",&x);
10 ans=1LL*ans*x%mod;
11 s=(s+x-1)%mod;
12 }
13 for(int i=0;i<n-2;i++)ans=1LL*ans*(s-i+mod)%mod;
14 printf("%d",ans);
15 }
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