算法设计与分析——多边形游戏（DP）

1、问题描述：  

给定N个顶点的多边形，每个顶点标有一个整数，每条边上标有+(加)或是×(乘)号，并且N条边按照顺时针依次编号为1~N。下图给出了一个N＝4个顶点的多边形。

游戏规则 ：(1) 首先，移走一条边。

　　　　　　　 (2) 然后进行下面的操作： 选中一条边E，该边有两个相邻的顶点，不妨称为V1和V2。对V1和V2顶点所标的整数按照E上所标运算符号(+或是×)进行运算，得到一个整数；用该整数标注一个新顶点，该顶点代替V1和V2 。 持续进行此操作，直到最后没有边存在，即只剩下一个顶点。该顶点的整数称为此次游戏的得分(Score)。

    2、问题分析：

　　 解决该问题可用动态规划中的最优子结构性质来解。

　　设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。

　　在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。

　　设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：

　　 a=m[i,s,0]  b=m[i,s,1]  c=m[i,s,0]  d=m[i,s,1]

　　(1) 当op[i+s]=’+’时

　　　　m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d

　　 (2) 当op[i+s]=’*’时

　　　　 m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}

　由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。 初始边界值为 m[i,1,0]=v[i]   1<=i<=n m[i,1,1]=v[i]   1<=i<=n

因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)modn。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。

代码如下：

 //2015.5.2：——Anonymous
 #include<string.h>
 #include<stdio.h>
 int v[];
 int n;
 char op[];
 int minf,maxf;
 int m[][][];
 void minMax(int i,int s,int j)
 {
     int e[];
     int a=m[i][s][],
         b=m[i][s][],
         r=(i+s-)%n+,
         c=m[r][j-s][],
         d=m[r][j-s][];
     if(op[r]=='t')
     {
         minf=a+c;
         maxf=b+d;
     }
     else
     {
         e[]=a*c;
         e[]=a*d;
         e[]=b*c;
         e[]=b*d;
         minf=e[];
         maxf=e[];
         for(int k=; k<; k++)
         {
             if(minf>e[k])
                 minf=e[k];
             if(maxf<e[k])
                 maxf=e[k];
         }
     }
 }
 int main()
 {
     memset(m,,sizeof(m));
     scanf("%d",&n);
     getchar();
     for(int i=; i<=n; i++)
     {
         scanf("%c",&op[i]);
         scanf("%d",&v[i]);
         m[i][][]=v[i];
         m[i][][]=v[i];
         getchar();
     }
     for(int j=; j<=n; j++)//链的长度
         for(int i=; i<=n; i++)//删掉第i条边
             for(int s=; s<j; s++)//断开的位置
             {
                 minMax(i,s,j);
                 if(m[i][j][]>minf)
                     m[i][j][]=minf;
                 if(m[i][j][]<maxf)
                     m[i][j][]=maxf;
             }
     int temp=m[][n][];
     for(int i=; i<=n; i++)
     {
         if(temp<m[i][n][])
             temp=m[i][n][];
     }
     printf("%d\n",temp);
     return ;
 }

测试数据：

输入：

4
t -7 t 4 x 2 x 5
 
输出：

33

计算复杂性分析：

　　与凸多边形最有三角剖分问题类似，上述算法需要O（n3）计算时间。