IVM import vector machine
本文为《Kernel Logistic Regression and the Import Vector Machine》的阅读笔记
是技法课的课外阅读
Abstract:
基于KLR kernel logistic regression,能自然延伸到多分类问题
提供属于各类的概率
也有类似support vector,且这部分training data占比比SVM小
algrithm:
IVM基于Kernal logistic regression(KLR),下面介绍KLR
原始logistic regression为:
$H = -\frac{1}{n}\sum_i^n \left\{ [y_i=1]ln(p(x_i))+[y_i=0]ln(1-p(x_i))\right \}+\frac{\lambda}{2}w^tw$ (1)
其中$p(x)=\frac{1}{1+exp(-(xw+b))}$
根据represent theory,$xw=\sum_i^n K(x,x_i)a_i$(2),这里K表示kernel
(1)中前半部分,很容易用(2)替换后得到对应的kernel化版本
(1)中后半部分,令$a=(a_1,a_2,...,a_n)$,$K$为nxn的矩阵,$K_{ij}=K(x_i,x_j)$,
$X$为nxd的矩阵,n为样本量,d为每个样本变换后的维度,$K=XX^t$根据(2),有
$Xw=Ka=XX^ta$,$w=X^ta$,$w^tw=a^tXX^ta=a^tKa$
$H=\frac{1}{n}\sum_i^n \left\{ [y_i=1]ln(1+exp(-f(x_i)))+[y_i=0]ln(1+exp(f(x_i)))\right \}+\frac{\lambda}{2}a^tKa$(3)
其中$f(x)=b+\sum_{x_i\in S} K(x,x_i)a_i,S=\left\{x_1,x_2,...,x_n\right\}$(4)
由于KLR并非hinge loss,所以解完后得到的每个$a_i$都不等于0
IVM是基于KLR的,所做的改进即选出一些$a_i\neq 0$,而其他$a_i=0$,这些不等于0的样本点,类似于SVM的support vector,此处叫Import point
令这些Import point组成的集合成为$S$,大小为$n_s$,此时(4)式中的$S$只包含Import point
(3)式中的$K$也有变动
重新考虑(2)式:$xw=\sum_i^n K(x,x_i)a_i$,令$X_s$为由Import point变换后组成的矩阵,大小为$n_s\times d,$令$K_a=XX_s^t$为$n\times n_s$的矩阵
有$Xw = K_a a = XX_s^t a$,$w = X_s^t a$,$w^tw = a^tX_sX_s^ta=a^tK_q a$,此处$K_q=X_sX_s^t$,是$n_s\times n_s$的矩阵
用牛顿法求解$H$,令$H_1=\frac{1}{n}\sum_i^n \left\{ [y_i=1]ln(1+exp(-f(x_i)))+[y_i=0]ln(1+exp(f(x_i)))\right \}$,$H_2=\frac{\lambda}{2}a^tK_qa$
$\frac{\partial H_1}{\partial a_j} = \frac{1}{n}\sum_i^n \left\{ -[y_i=1]K(x_i,x_j)\frac{exp(-f(x_i))}{1+exp(-f(x_i))}+[y_i=0]K(x_i,x_j)\frac{exp(f(x_i))}{1+exp(f(x_i))}\right \}\\ \ \ \ = \frac{1}{n}\sum_i^n \left\{ -[y_i=1]K(x_i,x_j)(1-p(x_i))+[y_i=0]K(x_i,x_j)p(x_i)\right \}\\ \ \ \ = \frac{1}{n}\sum_i^n \left\{ -y_iK(x_i,x_j)(1-p(x_i))+(1-y_i)K(x_i,x_j)p(x_i)\right \}\\ \ \ \ = \frac{1}{n}\sum_i^n (p(x_i)-y_i)K(x_i,x_j)=\frac{1}{n}\sum_i^n {K_a^t}_{ji}{(p-y)}_{i1}=\frac{1}{n} {[K_a^t(p-y)]}_{j1}$
由于$H_2$是一个数字,所以$trace H_2=H_2$
$\partial a\ trace H_2 = \partial a\ trace \frac{\lambda}{2}a^tK_qa = \frac{\lambda}{2}(K_qa+K_qa)=\lambda K_qa$
$\frac{\partial H_2}{\partial a_j}=\lambda {[K_qa]}_{j1}=\lambda \sum_i^{n_s} {[K_q]}_{ji}a_{i1}$
$\frac{\partial^2 H_1}{\partial a_j\partial a_z}=\frac{1}{n}\sum_i^n \frac{exp(-f(x_i))}{(1+exp(-f(x_i)))^2}K(x_i,x_z)K(x_i,x_j)=\frac{1}{n}\sum_i^np(x_i)(1-p(x_i)){[K_a]}_{iz}{[K_a]}_{ij}$
令$W=diag(p(x_i)(1-p(x_i)))$
$\frac{\partial^2 H_1}{\partial a_j\partial a_z}=\frac{1}{n}\sum_i^n {[K_a^t]}_{ji}W_{ii}{[K_a]}_{iz}=\frac{1}{n} {[K_a^tWK_a]}_{jz}$
$\frac{\partial^2 H_2}{\partial a_j\partial a_z}=\lambda {[K_q]}_{jz}$
根据牛顿法的更新公式:$\alpha_{k+1} = \alpha_{k}-Hessian^{-1}g$
$a_{k+1} = a_{k}+{(\frac{1}{n} K_a^tWK_a+\lambda K_q)}^{-1}(\frac{1}{n}K_a^t(y-p)-\lambda K_qa_k)\\ \ \ \ ={(\frac{1}{n} K_a^tWK_a+\lambda K_q)}^{-1} (\frac{1}{n}K_a^t(y-p)-\lambda K_qa_k+\frac{1}{n} K_a^tWK_aa_k+\lambda K_qa_k)\\ \ \ \ ={(\frac{1}{n} K_a^tWK_a+\lambda K_q)}^{-1} (\frac{1}{n}K_a^t[(y-p)+WK_aa_k])$ (3)
detail:
1.$S=\emptyset$,$R={x_1,x_2,...,x_n}$
2.遍历R中的每一个样本,令$S=S\bigcup x_l$,求解a,使H最小
3.选取使H最小的$x_l$,记此时H的値为$H_{k+1}$
4.如果$\frac{|H_{k+1}-H_k|}{H_k}<\eta$,判定为收敛,返回S,以及a;否则重复2-4,直到收敛(通常设$\eta=0.001$)
2步骤中如果加入一个$x_l$,就要进行一轮牛顿法的迭代,是很花时间的,改为如下更新策略
每一次加入一个$x_l$,按公式(3)执行一次迭代
IVM import vector machine的更多相关文章
- 6. support vector machine
1. 了解SVM 1. Logistic regression 与SVM超平面 给定一些数据点,它们分别属于两个不同的类,现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类.如果用x表示数据点,用y表示类别( ...
- 使用Support Vector Machine
使用svm(Support Vector Machine)中要获得好的分类器,最重要的是要选对kernel. 常见的svm kernel包括linear kernel, Gaussian kernel ...
- Support Vector Machine (3) : 再谈泛化误差(Generalization Error)
目录 Support Vector Machine (1) : 简单SVM原理 Support Vector Machine (2) : Sequential Minimal Optimization ...
- Support Vector Machine (2) : Sequential Minimal Optimization
目录 Support Vector Machine (1) : 简单SVM原理 Support Vector Machine (2) : Sequential Minimal Optimization ...
- PRML读书会第七章 Sparse Kernel Machines(支持向量机, support vector machine ,KKT条件,RVM)
主讲人 网神 (新浪微博: @豆角茄子麻酱凉面) 网神(66707180) 18:59:22 大家好,今天一起交流下PRML第7章.第六章核函数里提到,有一类机器学习算法,不是对参数做点估计或求其分 ...
- Support Vector Machine (1) : 简单SVM原理
目录 Support Vector Machine (1) : 简单SVM原理 Support Vector Machine (2) : Sequential Minimal Optimization ...
- 支持向量机 support vector machine
SVM(support Vector machine) (1) SVM(Support Vector Machine)是从瓦普尼克(Vapnik)的统计学习理论发展而来的,主要针对小样本数据进行学习. ...
- A glimpse of Support Vector Machine
支持向量机(support vector machine, 以下简称svm)是机器学习里的重要方法,特别适用于中小型样本.非线性.高维的分类和回归问题.本篇希望在正篇提供一个svm的简明阐述,附录则提 ...
- 支持向量机SVM(Support Vector Machine)
支持向量机(Support Vector Machine)是一种监督式的机器学习方法(supervised machine learning),一般用于二类问题(binary classificati ...
随机推荐
- ListView中分割线的设置
1.在布局文件中ListView元素中通过属性设置 android:divider="#fffff" 分割线颜色 android:dividerHeight="1px&q ...
- (?m)使用实例
示例sql: # User@Host: zjzc_app[zjzc_app] @ [10.22.18.164] Id: 6069153 # Query_time: 153.908486 Lock_ti ...
- openstack API debug OpenstackEveryProject_CLI,curl_based
1,基于Openstack 每个服务组件client客户端,eg,nova 客户端软件包名称是python-novaclient, 别的都一样,把python-novaclient (nova替换成组 ...
- Expected authority at index 7: hdfs://
hadoop版本:1.0.4 今天在跑TestForest的时候,居然出现了这个问题: Exception in thread "main" java.lang.IllegalAr ...
- jQuery UI的基本使用方法与技巧
一.概述 jQuery UI is a widget and interaction library built on top of the jQuery JavaScript Library, th ...
- 【Java基础】setter与getter方法
//下面代码实现设置和获取学生姓名和成绩. class lesson5homework { public static void main(String[] args) { TestCode TC=n ...
- WCF Rest:不使用UriTemplate使用post方式传参解决HTTP400问题以及参数映射问题
在使用POST方式向服务提交数据时,出现HTTP400异常,以下代码描述: 服务接口定义: [OperationContract] [WebInvoke(ResponseFormat = WebMes ...
- Asp.Net使用Bulk批量插入数据
using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Web; using System.Di ...
- 数据库监控[Z]
--查看表锁 select * from sys.v_$sqlarea where disk_reads>100 --监控事例的等待 select event,sum(decode(wai ...
- CAShapeLayer + UIBezierPath
UIBezierPath: UIBezierPath是在 UIKit 中的一个类,继承于NSObject,可以创建基于矢量的路径.使用此类可以定义常见的圆形.多边形等形状 .我们使用直线.弧(arc) ...