cf808E(三分)

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/808/E

题意：给出n个体积为wi, 价值为ci的物品，背包容量为m，求能容纳的最大物品价值，其中 1<=wi<=3；

思路：看到题目首先想到了atcoder的一道题http://www.cnblogs.com/geloutingyu/p/6789985.html

然而这里的 n 为 1e5，直接贪心枚举肯定是不行的．可以考虑O(nlogn)的算法．．．

这里可以先按照价值从大到小枚举体积为3的物品，用剩余的容量去装体积为1, 和 2 的物品使剩余空间取得最大值，所有枚举情况中的最大值即为答案；

现在问题转化成了在O(longn)的时间复杂度内求出剩余空间能容纳的1，和２物品最大价值，以物品２的数目为 x 轴，能容纳的最大价值为 y 轴，

将其描点再连成光滑曲线后是一条单峰抛物线 / 单峰拋物线的一侧 ；可以做个简易的证明，对于已经降序排列的物品1, 物品2 显然其单位体积的

价值是非递增的，用 i 表示当前选了 i 个物品2，area2( i )为前 i 个物品平均单位体积的价值，显然 area2( i )是随 i 非递增的，物品１同理，并且这里的容量是固定的，

所以其在以物品２的数目为x轴，最大价值为 y 轴的直角坐标系中的图形为：

　　１，若物品1, 2的体积和不大于背包剩余空间，则其为单峰函数的左侧；

　　２，对于物品1, 2的体积和大于背包剩余空间，有：

　　　　a，若area2(index2) > area1(1)，其中index2为物品2的数目，则其为单峰函数左侧；

　　　　b，若area2(1) < area1(index1)，其中index1为物品1的数目，则其为单峰函数右侧；

　　　　c，其他情况则存在峰；

对于单峰函数直接三分一下物品２的数目即可找峰值，注意这里可能会存在单调的情况(为单峰函数的一侧)，所以还要判断一下边界；

ps：我试了下先枚举物品３再三分物品１的数目wa了，百思不得其解，望路过的大佬指教～

代码：

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <algorithm>
 #define ll long long
 using namespace std;

 const int MAXN = 3e5+;
 ll a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];
 ll va[MAXN], vb[MAXN], vc[MAXN];
 int n, m, indxa=, indxb=, indxc=;

 bool cmp(ll a, ll b){
     return a > b;
 }

 void get_v(void){
     for(int i=; i<=m; i++){
         va[i] = va[i-] + a[i];
     }
     for(int i=; i*<=m; i++){
         vb[i<<] = vb[(i-)<<] + b[i];
         vb[(i<<)-] = vb[(i-)<<];
     }
     for(int i=; i*<=m; i++){
         vc[i*] = vc[(i-)*] + c[i];
     }
 }

 ll f(int x, int w){
     if(x* > w) x=w>>;
     return vb[x*] + va[w-x*];
 }

 ll find(int w){//三分体积为2的数目
     if(w <= ) return ;
     int l=, r=w, rmid=w, lmid=;
     while(l < r-){
         lmid = l+(r-l)/;
         rmid = r-(r-l)/;
         if(f(lmid, w) > f(rmid, w)) r = rmid;
         else l = lmid;
     }
     return max(max(max(max(f(l, w), f(r, w)), f(lmid, w)), f(rmid, w)), f(, w));//***注意这里的边界条件
 }

 int main(void){
     ll ans=;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i=; i<n; i++){
         int x, y;
         scanf("%d%d", &x, &y);
         if(x == ) a[indxa++] = y;
         else if(x == ) b[indxb++] = y;
         else c[indxc++] = y;
     }
     sort(a+, a+indxa, cmp);
     sort(b+, b+indxb, cmp);
     sort(c+, c+indxc, cmp);
     get_v();
     for(int i=; i*<=m; i++){//枚举体积为3的数目
         ll cnt = vc[i*];
         cnt += find(m-i*);
         ans = ans > cnt ? ans : cnt;
     }
     printf("%lld\n", ans);
     return ;
 }