动态规划专题(一) HDU1087 最长公共子序列
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首先对于动态规划问题要找出其子问题,如果找的子问题是前n个序列的最长上升子序列,但这样的子问题不好,因为它不具备无后效性,因为它的第n+1的数会影响前n个序列的长度,换句话说,如果第n+1个数加上去不一定使得和前n个数加起来就是最长子序列,具体例子很多比如5,6,1,2 第5个数是3,那么最长序列5,6加3不会比1,2加3长。
比较好的子问题是“求以第K个为终点的最长上升子序列”,其实这个子问题的好处在于它限定了一点,终点为第k个数,那么我去递推第K+1的最长子序列时,它只跟前面各个以某点为终点的最长子序列有关
接下来,我们写出它的状态转移方程
maxLen(k)表示为ak作为终点的最长上升子序列的长度
初始状态:maxLen(1)=1
maxLen(k)=max{ maxLen(i):1<=i<k且ai < ak 且k>=2}+1
若找不到则maxLen(k)=1
因为以小于ak为终点的各序列,若满足上述条件,加上ak,一定会形成更长的上升子序列。
另外从认识的角度讲,ak是从终点1到k-1一个个判断下来的,那么一旦他们两个是上升的,连带的会把ai的最长子序列长度带上去,使之变得更长。
本题仅作了一个小的改动最长上升总和,思路大致相同,代码如下
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #define MAXN 1005
- using namespace std;
- int num[MAXN],m[MAXN];//m记录以每个终点的最长上升总和
- int main()
- {
- int t,i,j,k;
- while(cin>>t)
- {
- if(t==)
- break;
- memset(m,,sizeof());
- for(i=;i<=t;i++)
- scanf("%d",&num[i]);
- m[]=num[];
- for(i=;i<=t;i++)
- {
- m[i]=num[i];
- for(j=;j<i;j++)
- {
- if(num[j]<num[i])
- m[i]=max(m[i],m[j]+num[i]);
- }
- }
- k=m[];
- for(i=;i<=t;i++)
- k=m[i]>k?m[i]:k;
- cout<<k<<endl;
- }
- return ;
- }
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