【THUWC2017】在美妙的数学王国中畅游（bzoj5020）

我数学是真的菜！！

清华光用数学知识就把我吊起来打，我还是太菜了

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题解

如果每座城市的 $f$ 都是 $3$，维护一下树的路径上的 $\sum a,\space \sum b$ 即可。

其实就是维护一次项和常数项。由于只有两项，所以很好维护。

这样维护的原理是多项式（这里是一次函数）可以合并，所以要求一条路径的答案，只要把 $x$ 代入这条路径上所有点合并后的多项式即可。

由于前三个操作需要动态树，套 $LCT$ 即可（我强行再学一遍 $LCT$……）

但 $sin(ax+b)$ 和 $e(ax+b)$ 都不是多项式，没法合并啊！（也就是说我们只能暴力求路径上每个点的答案再求和）

然后思考一下，看看题，发现底部给了你一个泰勒展开的公式。

泰勒展开是什么？就是通过求导数，把一个奇怪的函数展开成多项式。这个多项式的项数无穷多，但我们可以只保留前面若干项，保留的项数越多，这个多项式的结果就越接近原函数的结果。（因为越往后的项，值越接近无穷小，小到 $10^{-???}$ 次方的那种，可以忽略不计）

再看一下输出要求，答案只要精确到 $10^{-7}$ 就行，然后应该就明白要干什么了……

泰勒公式：$$f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)*(x-x_0)^i}{i!}$$

其中 $f^{(i)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $i$ 阶导。

这个公式的 $x_0$  是随便取都可以的，没有区别……只是让你随便代进去一个数而已。

但是 $x_0=0$ 的时候最方便，上式就变成了 $$f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(0)*x^i}{i!}$$

而且这就使函数 $f^{(i)}$ 的自变量 $x=0$ ，也就是说不用管 $x$ 的系数 $a$ 了，在维护时只需要用到它的系数 $b$。下文会再提到。

然后复习一下怎么求导吧……（雾）

指数函数求导：$$(a^x)'=a^x*\ln a$$

（$ln\space a$ 代表取自然对数，即底数为 $e$）

特殊的：$$(e^x)'=e^x$$

三角函数求导：$$(\sin x)'=\cos x$$

$$(\cos x)'=-\sin x$$

$$(-\sin x)'=-\cos x$$

$$(-\cos x)'=\sin x$$

四个一循环，其实就是圆上的四个象限。

复合函数的求导公式： $$[f(g(x))]'=g'(x)\times f'(g(x))$$

这道题中，函数 $f$ 就是第一问和第二问要求的那两个式子本身，函数 $g$  则是 $g(x)=ax+b$。

对于第二问，$f(x)=e^{ax+b}$，则 $f(g(x))=e^{ax+b}$ 求一次导后得到 $$[f(g(x))]'=a\times e^{ax+b}$$

然后再对 $[f(g(x))]'$ 求导，当时我就有一个没搞明白的地方：为什么 $a$ 求导后不是 $0$？它不是常数项吗？

后来我才发现，$[f(g(x))]'$ 中的 $a$ 不是常数项，是与变量 $x$ 有关的系数！注意它乘的 $e^{ax+b}$ 里是有个 $x$ 的。

所以再对 $[f(g(x))]'$ 求导，也就是对 $f(g(x))$ 求二次导时不对若干次项的系数 $a$ 求导，直接乘上即可，重点是对 $e^{ax+b}$ 求导。所以 $$[f(g(x))]''=a^2\times e^{ax+b}$$

以此类推，$$[f(g(x))]^{(n)}=a^n\times e^{ax+b}$$

对于第一问的三角函数求导同理，$$\sin'(ax+b)=a \cos(ax+b)$$

$$\sin''(ax+b)=-a^2 \sin(ax+b)$$

$$\sin'''(ax+b)=-a^3 \cos(ax+b)$$

$$\sin''''(ax+b)=a^4 \sin(ax+b)$$

以此类推的循环。

由于我们之前让自变量 $x=x_0=0$ 了，所以实际维护以上所有信息时不用算和 $x$ 相关的项（而且输入的 $x$ 不唯一，本身就没法维护。这就是为什么让那个随意值 $x_0$ 为 $0$ 会很方便）。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 #define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
 #define N 200002
 #define M 16
 using namespace std;
 inline int read(){
     int x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 int n,m,k,f[N];
 char type[];
 double jc[N],sum[N][M],a[N],b[N];
 int ch[N][],fa[N];
 bool rev[N];
 
 ;inline bool son(int x){return ch[fa[x]][]==x;}
 inline bool isroot(int x){return ch[fa[x]][]!=x && ch[fa[x]][]!=x;}
 inline void reverse(int x){
     if(!x) return;
     swap(ch[x][],ch[x][]), rev[x]^=;
 }
 void pushup(int x){
     rep(i,,M-) sum[x][i]=sum[ch[x][]][i]+sum[ch[x][]][i];
     if(f[x]==){
         double val=,Sin=sin(b[x]),Cos=cos(b[x]);
         for(int i=;i<M;i+=){
             sum[x][i]+=Sin*val, val*=a[x];
             sum[x][i+]+=Cos*val, val*=a[x];
             sum[x][i+]-=Sin*val, val*=a[x];
             sum[x][i+]-=Cos*val, val*=a[x];
         }
     }
     else if(f[x]==){
         double val=exp(b[x]); sum[x][]+=val;
         for(int i=;i<M;++i)
             val*=a[x], sum[x][i]+=val;
     }
     else
         sum[x][]+=b[x], sum[x][]+=a[x];
 }
 void pushdown(int x){
     if(!rev[x]) return;
     reverse(ch[x][]), reverse(ch[x][]), rev[x]=;
 }
 void rotate(int x){
     int f=fa[x], g=fa[f], c=son(x);
     ch[f][c]=ch[x][c^];
     if(ch[f][c]) fa[ch[f][c]]=f;
     fa[x]=g;
     if(!isroot(f)) ch[g][son(f)]=x;
     ch[x][c^]=f, fa[f]=x, pushup(f);
 }
 int stk[N],top;
 void splay(int x){
     stk[++top]=x;
     for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) stk[++top]=fa[i];
     while(top) pushdown(stk[top--]);
     for(;!isroot(x);rotate(x))
         if(!isroot(fa[x])) son(x)^son(fa[x]) ? rotate(x) : rotate(fa[x]);
     pushup(x);
 }
 void access(int x){
     for(int y=; x; y=x,x=fa[x])
         splay(x), ch[x][]=y, pushup(x);
 
 }
 void makeroot(int x){
     access(x), splay(x), reverse(x);
 }
 int findroot(int x){
     access(x), splay(x);
     while(ch[x][]) x=ch[x][];
     splay(x); return x;
 }
 void split(int x,int y){
     makeroot(x), access(y), splay(y);
 }
 void link(int x,int y){
     makeroot(x), fa[x]=y;
 }
 void cut(int x,int y){
     split(x,y), ch[y][]=fa[x]=;
 }
 
 inline void getJc(){
     jc[]=jc[]=;
     rep(i,,M-) jc[i]=jc[i-]*i;
 }
 int main(){
     getJc();
     n=read(),m=read();
     scanf("%s",type);
     rep(i,,n) scanf("%d %lf %lf",&f[i],&a[i],&b[i]);
     while(m--){
         int u,v,ff;
         double aa,bb,x,IQ,ans;
         char s[];
         scanf("%s",s);
         if(s[]=='a'){
             u=read()+,v=read()+;
             link(u,v);
         }
         else if(s[]=='d'){
             u=read()+,v=read()+;
             cut(u,v);
         }
         else if(s[]=='m'){
             scanf("%d %d %lf %lf",&u,&ff,&aa,&bb);
             ++u;
             makeroot(u);
             f[u]=ff, a[u]=aa, b[u]=bb;
             pushup(u);
         }
         else{
             scanf("%d %d %lf",&u,&v,&IQ);
             x=, ++u, ++v;
             if(findroot(u)^findroot(v)){
                 printf("unreachable\n");
                 continue;
             }
             split(u,v);
             ans=;
             rep(i,,M-)
                 ans+=sum[v][i]*x/jc[i], x*=IQ;
             printf("%.8e\n",ans);
         }
     }
     return ;
 }

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如果你数学学得好，这题就是个 $LCT$ 裸题（前提是你能熟练秒切 $LCT$）

然而裸题效果对我明显无效