BZOJ3301 P2524 UVA11525 算法解释康托展开

这三个题的代码分别对应第二个第一个第三个

在刘汝佳蓝书上我遇到了这个康托展开题。

当时去了解了一下，发现很有意思

百度上的康托展开定义

原理介绍

编辑

康托展开运算

其中,

为整数,并且

。

的意义为在ai之后出现的数有几个比他小

康托展开的逆运算

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.用1去除1!得到1余0，这一位是2.最后一位只能是1.所以这个数是45321。

按以上方法可以得出通用的算法。 ^[1] 

 

此定理的证明十分简易，就是用组合原理

我们能明白第k位上的数码若为x则有（n-k-1）！（x-1）种比他小的排列（字典序小）

就可以证了

 

 

显然，n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出唯一的一个排列。

 

 

我们可以发现正着求的话，阶乘on预处理，那么关键就在于ai怎么求。

我们观察到暴力是on2

如果把数变为布尔数组

转化问题为一般二位偏序

用树状数组求前面0的个数

不就是ai了么

所以就可以nlogn求解

 

发下暴力（洛谷2524）

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 #define mod 19260817
 int n,m,a,b,c,ans=,list[],visit[];
 void makelist(){
     list[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
     list[i]=(list[i-]%mod)*i%mod;
 }
 string s;
 int main(){
     cin>>n;
     memset(visit,,sizeof(visit));
     makelist();
     cin>>s;
     for(int i=;i<s.length();i++){
         a=s[i]-'';visit[a]=;
         m=;
         for(int j=;j<a;j++){
             if(!visit[j])m++;
         }
         ans+=list[n--i]*m;
     }
     cout<<ans+;
     return ;
 } 

轮到正解了（bzoj3301）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define mod 19260817
int n,m,a,b,c,ans=,list[],input[],tree[];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
int query(int x){int ans=;for(int i=x;i>;i-=lowbit(i))ans+=tree[i];return ans;}
void add(int p,int x){for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i))tree[i]+=x;}
void makelist(){
    list[]=;
    for(int i=;i<=;i++)
    list[i]=(list[i-]%mod)*i%mod;
}
int main(){
    cin>>n;
    makelist();
    for(int i=;i<=n;i++)
    cin>>input[i];
    for(int i=;i<=n;i++){
        a=input[i];add(a,);
        m=a-query(a);
        ans+=list[n-i]*m;
    }
    cout<<ans+;
    return ;
} 

那逆运算呢

由于我们知道ai<n

所以我们观察到（n-i）！*ai<n!

可以推出x/(n-i)!=ai;(下取整)

问题转化为二位偏序，前缀第k大

就可以用树状数组解决（也可以用主席树）

代码参考的candy博主

uva1125

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=5e5+,INF=1e6+;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,x,k;
int c[N];
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
inline void add(int p,int v){
    for(;p<=n;p+=lowbit(p)) c[p]+=v;
}
inline int sum(int p){
    int res=;
    for(;p>;p-=lowbit(p)) res+=c[p];
    return res;
}
inline int kth(int k){
    int x=,cnt=;
    for(int i=;i>=;i--){
        x+=(<<i);
        if(x>=n||cnt+c[x]>=k) x-=(<<i);
        else cnt+=c[x];
    }
    return x+;
}
int main(){
    int T=read();
    while(T--){
        n=read();
        memset(c,,sizeof(c));
        for(int i=;i<=n;i++) add(i,);
        for(int i=;i<=n;i++){
            k=read()+;
            x=kth(k);
            cout<<x<<" ";
            add(x,-);
        }
    }
}