平衡树

简介:

平衡二叉树(Balanced Binary Tree)具有以下性质:它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。 最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列,可以参考Fibonacci数列,1是根节点,F(n-1)是左子树的节点数量,F(n-2)是右子树的节点数量。

Treap:

简介:

Treap代码实现相对简单的一个算法,Treap是 heap+Tree,既满足堆的性质也满足平衡树的性质,一棵树的节点上有一个data用于存数据,fix是一个堆的优先级(假设我们是小顶堆),key是平衡树的比较值;key一般是给出的,然而fix我们随机生成,这样的随机会使得平衡树比较平衡。假设一棵排序二叉树插入一组有序的数,就会使得树退化为一条链。我们在插入的时候为每个节点随机生成一个fix(优先级)。插入时满足排序二叉树的性质。插入完成时检查是否满足堆的性质,并进行旋转操作使他满足堆的性质。

旋转操作:

为了满足堆的性质,我们需要对这棵树进行旋转以达到堆的性质。旋转操作看图
如图是旋转操作,我用的是指针链式的写法:所以,每次旋转需要调整两个节点的父子关系。以及指向P或者Q的那个指针。
下面给出指针的写法
void rotate(Node* &o,int d)
{
Node *k=o->ch[d^1];
o->ch[d^1]=k->ch[d];
k->ch[d]=o;
o=k;
}

上面是旋转操作,d传0代表左旋,d为1代表右旋;

当我们了解旋转操作后,接下来;

插入元素操作:

首先根据排序二叉树的性质找到叶子节点,将新的元素插入到叶子节点。当插入之后会破坏堆的性质,然后进行旋转操作让他满足堆的性质,因为那样旋转不会破坏排序二叉树的性质的。所以旋转只需要考虑堆的性质。

删除操作:

用排序二叉树的性质去找要删除的元素位置,找到之后判断是否左右都是有儿子,如果不是直接删除,把指向他的指针,直接指向他的儿子节点。如果是就需要通过旋转操作。把需要删除的元素往下旋转。旋转时为了满足堆的性质(如果是小顶堆)需要比较左右儿子的大小,将该元素与小值的儿子进行旋转。
 
 #include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
int sz;
const int maxn=1e6+;
struct Node
{
Node *ch[];
int r,v,info;//v是顾客优先级,info是顾客的编号,r由rand()生成
int cmp(int x)
{
if(x==v) return -;
return x<v? :;
}
}T[maxn];
Node * newnode(int _v,int _info)
{
Node *res=&T[sz];
T[sz].v=_v,T[sz].info=_info;
T[sz].r=rand();
T[sz].ch[]=T[sz].ch[]=NULL;
sz++;
return res;
}
void rotate(Node* &o,int d)
{
Node *k=o->ch[d^];
o->ch[d^]=k->ch[d];
k->ch[d]=o;
o=k;
}
void insert(Node* &o,int v,int info)
{
if(o==NULL) o=newnode(v,info);
else
{
int d= v < o->v?:;
insert(o->ch[d],v,info);
if(o->ch[d]->r > o->r)
rotate(o,d^);
}
}
void remove(Node *&o,int v)
{
int d=o->cmp(v);
if(d==-)
{
if(o->ch[] && o->ch[])
{
int d2 = o->ch[]->r < o->ch[]->r ?:;
rotate(o,d2);
remove(o->ch[d2],v);
}
else
{
if(o->ch[]==NULL)o=o->ch[];
else o=o->ch[];
}
}
else remove(o->ch[d],v);
}
int find_max(Node *o)//找到最大v值
{
if(o->ch[]==NULL)
{
printf("%d\n",o->info);
return o->v;
}
return find_max(o->ch[]);
}
int find_min(Node *o)//找到最小v值
{
if(o->ch[]==NULL)
{
printf("%d\n",o->info);
return o->v;
}
return find_min(o->ch[]);
}
int main()
{
int op;
Node *root=NULL;
sz=;
while(scanf("%d",&op)==&&op)
{
if(op==)
{
int info,v;
scanf("%d%d",&info,&v);
insert(root,v,info);
}
else if(op==)
{
if(root==NULL)
{
printf("0\n");
continue;
}
int v=find_max(root);
remove(root,v);
}
else if(op==)
{
if(root==NULL)
{
printf("0\n");
continue;
}
int v=find_min(root);
remove(root,v);
}
}
return ;
}
 
优先队列的实现。

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