2018 Multi-University Training Contest 1 H - RMQ Similar Sequence(HDU - 6305 笛卡尔树)
题意:
对于一个序列a,构造一个序列b,使得两个序列,对于任意的区间 [l, r] 的区间最靠近左端点的那个最大值的位置,并且序列 b 满足 0 < bi < 1。
给定一个序列 a ,求序列 b 中所有元素的和的期望。
Sample Input
3
3
1 2 3
3
1 2 1
5
1 2 3 2 1 Sample Output
250000002
500000004
125000001
题解:
若满足题意,则 a 和 b 的笛卡尔树同构。
因为 bi 在 0 到 1 之间,故 bi 的期望值为 1/2 ,所以 b 序列的和的期望值为 n/2。
对于笛卡尔树的每一棵子树,若用sz[i]表示以 i 为根节点的子树的大小,则满足其根节点是子树的最大值的概率为 1/sz[i] 。
所以整棵树满足条件的概率为1 / Πsz[i]。
故总期望值为两个的乘积 n / 2Πsz[i]。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = ;
const int MOD = 1e9+; int a[maxn], lson[maxn], rson[maxn], fa[maxn];
LL dp[maxn], inv[maxn];
LL tmp; LL DP(int id)
{
if (id == ) return ;
if (dp[id]) return dp[id];
dp[id] = DP(lson[id]) + DP(rson[id]) + ;
return dp[id];
} void getinv()
{
inv[] = ;
for (int i = ; i < maxn; i++)
inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;
} int main()
{
int t, n;
scanf("%d", &t);
getinv();
for (int ca = ; ca <= t; ca++)
{
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); stack<int> st;
for (int i = ; i <= n; i++)
lson[i] = rson[i] = fa[i] = dp[i] = ; for (int i = ; i <= n; i++)
{
if (!st.empty() && a[st.top()] < a[i])
{
while (!st.empty() && a[st.top()] < a[i])
tmp = st.top(), st.pop();
lson[i] = tmp, fa[tmp] = i;
}
if (!st.empty()) rson[st.top()] = i, fa[i] = st.top();
st.push(i);
} for (int i = ; i <= n; i++) if (!fa[i]) DP(i); LL ans = n * inv[] % MOD;
for (int i = ; i <= n; i++) ans = ans * inv[dp[i]] % MOD; printf("%lld\n", ans);
}
}
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