Graham扫描法 --求凸包
前言:
首先,什么是凸包?
假设平面上有p0~p12共13个点,过某些点作一个多边形,使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候,我们就叫它“凸包”。如下图:
然后,什么是凸包问题?
我们把这些点放在二维坐标系里面,那么每个点都能用 (x,y) 来表示。
现给出点的数目13,和各个点的坐标。求构成凸包的点?
Graham扫描法
时间复杂度:O(n㏒n)
思路:Graham扫描的思想和Jarris步进法类似,也是先找到凸包上的一个点,然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点,但它不是利用夹角。
步骤:
- 把所有点放在二维坐标系中,则纵坐标最小的点一定是凸包上的点,如图中的P0。
- 把所有点的坐标平移一下,使 P0 作为原点,如上图。
- 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ,按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时,距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8。我们由几何知识可以知道,结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
(以上是准备步骤,以下开始求凸包)
以上,我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1,我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里,把 P1 后面的那个点拿出来做当前点,即 P2 。接下来开始找第三个点: - 连接P0和栈顶的那个点,得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5;如果在直线上,或者在直线的左边就执行步骤6。
- 如果在右边,则栈顶的那个元素不是凸包上的点,把栈顶元素出栈。执行步骤4。
- 当前点是凸包上的点,把它压入栈,执行步骤7。
- 检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点,返回步骤4。
最后,栈中的元素就是凸包上的点了。
以下为用Graham扫描法动态求解的过程:
代码实现:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct point
{
long long x;
long long y;
} P[],S[]; //P 中存点,S模拟栈存凸包的点; long long xx;
long long yy; // 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ,按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时,距离 P0 比较近的排在前面。
bool cmp(struct point a,struct point b)
{
if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))
return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));
return a.x<b.x;
} //叉积判断点的位置
long long CJ(long long x1,long long y1,long long x2,long long y2)
{
return (x1*y2-x2*y1);
} long long Compare(struct point a,struct point b,struct point c)
{
return CJ((b.x-a.x),(b.y-a.y),(c.x-a.x),(c.y-a.y));
} int main()
{
int n,i,j;
while(~scanf("%d",&n))
{
int top = ;
yy = +;
for(i=;i<n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&P[i].x,&P[i].y);
if(P[i].y<yy)
{
yy = P[i].y;
xx = P[i].x;
j = i;
}
}
P[j] = P[];
sort(P+,P+n,cmp);
S[].x = xx;
S[].y = yy;
S[] = P[];
for(i = ;i<n;)
{
if(top&&(Compare(S[top-],S[top],P[i])<)) top--;
else S[++top] = P[i++];
}
for(i=;i<=top;i++)
printf("%lld %lld\n",S[i].x,S[i].y);
}
return ;
}
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