期望DP初步

感觉期望DP这种东西像是玄学…

主要总结说一点基础性的东西, 或许对于理解题目的做法会有一点帮助.

首先是关于独立事件, 互斥事件的概念. 通俗地说, 就是对于两个事件A, B, 假如满足发生了其中一个就不会发生另一个, 则称A, B为互斥事件; 假如A与B的发生没有任何关系, 可能都发生, 可能只有一个发生, 也可能都不发生, 则称A, B为独立事件. 下文的讨论主要针对独立事件进行.

一. 事件间的关系与运算;

A + B (和事件): 表示A, B两个事件至少有一个发生;

A · B(积事件)表示A, B两个事件同时发生;

二. 复杂事件的概率运算公式

和事件的概率: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A * B)

推广得到: P(A)=(P(A+B)−P(B))/(1−P(B))

即: P(A - B) = (P(A) - P(B)) / (1 - P(B))

适用于在知道和事件与其中一个事件的概率的情况下, 求另一个事件的概率.

特别地, 当A与B为互斥事件时, P(A + B) = P(A) + P(B)

积事件的概率: P(A1 * A2 * A3 * … * An) = P(A1) * P(A2) * … * P(An)

三. 期望值的计算公式:

Ex = ΣXiPi(ΣPi = 1)

例题: BZOJ3566概率充电器

这一题就用到了和公式与差公式

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x = 0, flag = 1;
    char c;
    while(! isgraph(c = getchar()))
        if(c == '-')
            flag *= - 1;
    while(isgraph(c))
        x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * flag;
}
void println(int x)
{
    if(x < 0)
        putchar('-'), x *= - 1;
    if(x == 0)
        putchar('0');
    int top = 0, ans[1 << 4];
    while(x)
        ans[top ++] = x % 10, x /= 10;
    for(; top; top --)
        putchar(ans[top - 1] + '0');
    putchar('\n');
}
const double EPS = 1e-8;
const int MAXN = 1 << 20;
int head[MAXN];
int top;
struct edge
{
    int v, next;
    double p;
}T[MAXN << 1];
void add_edge(int u, int v, double p)
{
    T[top].v = v, T[top].next = head[u], T[top].p = p, head[u] = top ++;
}
double q[MAXN];
double f[MAXN], ans[MAXN];
void DFS(int u, int fa)
{
    f[u] = q[u];
    for(int i = head[u]; i != - 1; i = T[i].next)
    {
        int v = T[i].v;
        if(v == fa)
            continue;
        DFS(v, u);
        f[u] = f[u] + f[v] * T[i].p - f[u] * f[v] * T[i].p;
    }
}
void DGS(int u, int fa)
{
    for(int i = head[u]; i != - 1; i = T[i].next)
    {
        int v = T[i].v;
        if(v == fa)
            continue;
        if(1 - f[v] * T[i].p < EPS)
                ans[v] = 1.0;
        else
        {
            double x = (ans[u] - f[v] * T[i].p) / (1 - f[v] * T[i].p) * T[i].p;
            ans[v] = f[v] + x - f[v] * x;
        }
        DGS(v, u);
    }
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("BZOJ3566.in", "r", stdin);
    freopen("BZOJ3566.out", "w", stdout);
    #endif
    int n = read();
    memset(head, - 1, sizeof(head));
    top = 0;
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int a = read(), b = read(), p = read();
        add_edge(a, b, (double)p / 100.0);
        add_edge(b, a, (double)p / 100.0);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        q[i] = (double)read() / 100.0;
    memset(f, 0, sizeof(f));
    DFS(1, 1);
    ans[1] = f[1];
    DGS(1, 1);
    double sum = 0;;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        sum += ans[i];
    printf("%.6f", sum);
}