[Violet]樱花

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洛谷

狗粮版

前置技能

1. 初中基础的因式分解
2. 线性筛
3. \(O(nlog)\)的分解质因数
4. 唯一分解定理

题解

首先来分解一下式子

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}
\]

通分可化为:

\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}
\]

两边同时乘\(xy*(n!)\)

\[(x+y)n!=xy
\]

移项得:

\[xy-(x+y)n!=0
\]

两边同时加上\((n!)^2\)

\[xy-(x+y)n!+(n!)^2=(n!)^2
\]

通过十字相乘可因式分解为:

\[(x-n!)(y-n!)=(n!)^2
\]

\[∵\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}
\]

\[∴x,y>n!
\]

又因为\(x,y\)为正整数,所以\((x-n!),(y-n!)\)也为正整数,所以我们不妨令

\[X=(x-n!),Y=(y-n!)
\]

则原式可以化为:

\[XY=(n!)^2
\]

根据唯一分解定理可知

\[n!=P_1^{a_1}P_2^{a_2}P_3^{a_3}...P_n^{a_n}(p_i为质数)
\]

\((n!)^2\)的因数个数为:

\[(2*a_1+1)*(2*a_2+1)*(2*a_3+1)*...*(2*a_n+1)
\]

所以我们只要算出\(a_1,a_2,a_3...a_n\)就好了

至于怎么算,线性筛一遍,在分解质因数,求\(a_i\)就好了

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1000000;
const int mod = 1e9+7;
int prime[N+1],a[N+1],js,v[N+1],c[N+1];
int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')  f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')  x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
void pd(){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!prime[i]) a[++js]=i,v[i]=i;
        for(int j=1;j<=js;j++){
            if(i*a[j]>N)  break;
            prime[i*a[j]]=1;
            v[i*a[j]]=a[j];
        }
    }
}
main(){
    int n=read(),x,ans=1;
    pd();
    v[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j!=1;j/=v[j])
            c[v[j]]++;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        ans*=(c[i]*2+1),ans%=mod;
    printf("%lld",ans%mod);
}