Luogu P3170 [CQOI2015]标识设计 状态压缩，轮廓线，插头DP，动态规划

看到题目显然是插头\(dp\)，但是\(n\)和\(m\)的范围似乎不是很小。我们先不考虑复杂度设一下状态试试：

一共有三个连通分量，我们按照\(1,2,3\)的顺序来表示一下。轮廓线上\(0\)代表没有插头接入，\(x\)说明有第\(x\)个连通分量里的插头接入，需要在这里连下去。

我们设当前格子左边的一位轮廓线为\(b_1\)，上边的一位轮廓线为\(b_2\)。

• 如果\(b_1 = b_2 = 0\)：

  • 当前格子可以选择不放。

  • 当前格子也可以向下新建一个\(L\)。

• 如果\(b1 = 0\)且\(b2 != 0\)：

  • 可以连下去。

  • 也可以在这里拐弯向右。

• 如果\(b1 != 0\)且\(b2 = 0\)：

  • 可以向右连下去。

  • 也可以就此结束。

连通分量会出现中断的情况。比如你在很靠上的地方选两个\(L\)，又在最下面选了一个\(L\)，这时候可能会出现中间某些轮廓线上全都是\(0\)，遇到第三个分量的时候不好判断。这里我们在第\(m+1\)位上再放一个数，表示目前已经出现几个连通分量，就容易确定状态的可行性了。

状态和决策都很简单。下面我们看一下复杂度靠谱不靠谱。

一般逐格转移的插头\(dp\)复杂度是\(O(NM*\)状态总数上界\()\)。一条轮廓线上最多有三个连通分量接入，所以用\(0,1,2,3\)四个数四进制表示。每个连通分量只可能接入一次（想一想，为什么），那么可以出现连通分量的选择就有\(C_N^3\)种。考虑三种连通分量各自的编号选择，状态总数就有\(C_N^3 * 4^3=259840\)种。运算次数大概是\(2e8\)左右，开着\(O2\)可以轻松卡过去。

（当然不开\(O2\)略微卡常也可以但是我懒=_=

\(Code\)：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int unsigned long long

const int N = 30 + 5;
const int base = 999983;
const int M = 1000000 + 5;

int n, m, can_use[N][N];

int las, cur, cnt[2], nxt[M];

int head[M]; int dp[2][M], Hash[2][M];

void update (int zt, int val) {
	int _zt = zt % base;
	for (int i = head[_zt]; i; i = nxt[i]) {
		if (Hash[cur][i] == zt) {
			dp[cur][i] += val; return;
		}
	}
	nxt[++cnt[cur]] = head[_zt];
	head[_zt] = cnt[cur];
	Hash[cur][cnt[cur]] = zt;
	dp[cur][cnt[cur]] = val;
}

int get_val (int zt) {
	int _zt = zt % base;
	for (int i = head[_zt]; i; i = nxt[i]) {
		if (Hash[cur][i] == zt) {
			return dp[cur][i];
		}
	}
	return 0;
}

int get_wei (int zt, int wei) {
	return (zt >> (wei * 2)) % 4;
}

int alt_wei (int zt, int wei, int val) {
	return zt - ((get_wei (zt, wei) - val) << (wei * 2));
}

void change_row () {
	for (int i = 1; i <= cnt[cur]; ++i) {
		int &zt = Hash[cur][i];
		for (int k = m; k >= 1; --k) {
			zt = alt_wei (zt, k, get_wei (zt, k - 1));
		}
		zt = alt_wei (zt, 0, 0);
	}
}

void print_zt (int zt) {
	for (int k = 0; k<= m + 1; ++k) {
		cout << get_wei (zt, k) << " ";
	}
}

void print (int x, int y) {
	cout << "r = " << x << " c = " << y << endl;
	for (int i = 1; i <= cnt[cur]; ++i) {
		cout << "zt = ";
		print_zt (Hash[cur][i]);
		cout << "dp = " << dp[cur][i] << endl;
	}
}

int solve () {
	update (0, 1);
//	print (0, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		change_row ();
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			las = cur, cur ^= 1, cnt[cur] = 0;
			memset (head, 0, sizeof (head));
			for (int k = 1; k <= cnt[las]; ++k) {
				int zt = Hash[las][k];
				int b1 = get_wei (zt, j - 1);
				int b2 = get_wei (zt, j - 0);
				int val = dp[las][k];
//				print_zt (zt); cout << endl;
//				cout << "b1 = " << b1 << " b2 = " << b2 << endl;
				if (!can_use[i][j]) {
					if (!b1 && !b2) {
						update (zt, val);
					}
				} else {
					if (b1 == 0 && b2 == 0) {
						int b = get_wei (zt, m + 1), _zt = zt;
						if (b < 3 && can_use[i + 1][j]) {
							_zt = alt_wei (_zt, m + 1, b + 1); // 新建连通分量
							_zt = alt_wei (_zt, j - 1, b + 1); // b1 那一位改为新分量编号
//							print_zt (zt); cout << " -> "; print_zt (_zt); cout << endl;
							update (_zt, val);
						}
						update (zt, val); // 这个格子不占用
					}
					if (b1 == 0 && b2 != 0) {
						if (can_use[i + 1][j]) {
							int _zt = zt;
							_zt = alt_wei (_zt, j - 1, b2);
							_zt = alt_wei (_zt, j - 0, 0);
							// 0_b2 -> b2_0
//							print_zt (zt); cout << " -> "; print_zt (_zt); cout << endl;
							update (_zt, val);
						}
						if (can_use[i][j + 1]) {
							update (zt, val);
							// 0_b2 -> 0_b2
						}
					}
					if (b1 != 0 && b2 == 0) {
						if (can_use[i][j + 1]) {
							int _zt = zt;
							_zt = alt_wei (_zt, j - 1, 0);
							_zt = alt_wei (_zt, j - 0, b1);
							// b1_0 -> 0_b1

//							print_zt (zt); cout << " -> "; print_zt (_zt); cout << endl;
							update (_zt, val);
						}
						int _zt = alt_wei (zt, j - 1, 0);
						// b1_0 -> 0_0
//							print_zt (zt); cout << " -> "; print_zt (_zt); cout << endl;
						update (_zt, val);
					}
				}
			}
//			print (i, j);
		}
	}
	int fin = alt_wei (0, m + 1, 3);
	return get_val (fin);
} 

signed main () {
//	freopen ("data.in", "r", stdin);
//	freopen ("data.out", "w", stdout);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			int ch = getchar ();
			if (ch != '.' && ch != '#') {
				ch = getchar ();
			}
			if (ch == '.') can_use[i][j] = true;
//			cout << can_use[i][j] << " ";
		}
//		cout << endl;
	}
	cout << solve () << endl;
}