5.3Python数据处理篇之Sympy系列(三)---简化操作

5.3简化操作

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• 5.3简化操作
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  • 前言
  • （一）有理数与多项式的简化
    • 1.最简化-simplify（）
      • （1）说明：
      • （2）源代码：
      • （3）输出：
    • 2.展开-expand（）
      • （1）说明：
      • （2）源代码：
      • （3）输出：
    • 3.提公因式-factor（）
      • （1）说明：
      • （2）源代码：
      • （3）输出：
    • 4.合并同类项-ceiling（）
      • （1）说明：
      • （2）源代码：
      • （3）输出：
    • 5.简化分式-cancel（）
      • （1）说明：
      • （2）源代码：
      • （3）输出：
    • 6.分式展开-apart（）
      • （1）说明：
      • （2）源代码：
      • （3）输出：
  • （二）三角函数的简化
    • 1.三角形的简化-trigsimp（）
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
    • 2.三角形的展开-expand_trig()
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
  • （三）指数函数的简化
    • 1.指数的合并一-powsimp()
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
    • 2.指数的合并二-powdenest()
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
    • 3.指数的展开：-expand_power_exp\expand_power_base
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
  • （四）对数函数的简化
    • 1.对数的简化-logcombine()
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
    • 2.对数的展开-expand_log（）
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
  • （五）其他函数的简化
    • １.阶乘与排列组合-factorial()\binomial()
      • （１）说明：
      • （２）源代码：
      • （３）输出：
      • 作者：Mark
      • 日期：2019/03/16 周六

前言

既然sympy是对于符号的运算，那么它对于符号表达式的简化与展开一定很强大。

今天我们学习的是符号表达式的简化与展开。

本章节对应官网的Simplification

官网的Simplification

https://docs.sympy.org/latest/tutorial/simplification.html

（一）有理数与多项式的简化

1.最简化-simplify（）

（1）说明：

simplify（）是尽可能的让表达式最简化，其最简化的形式是不定的。

（2）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
expr1 = cos(x)**2+sin(x)**2
expr2 = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)
# 简化表达式
r1 = simplify(expr1)
r2 = simplify(expr2)
print(r1)
print(r2)

（3）输出：

\(cos(x)^2+sin(x)^2\)-->1

\((x^3 + x^2 - x - 1)/(x^2 + 2x + 1)\)-->\(x-1\)

2.展开-expand（）

（1）说明：

expand（）是对括号里的多项式进行展开。

（2）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
expr1 = (x+1)**2
expr2 = ((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)
# 展开
r1 = expand(expr1)
r2 = expand(expr2)
print(r1)
print(r2)

（3）输出：

\((x+1)^2\)-->\(x^2+2x+1\)

\((x + 1)(x - 2) - (x - 1)x\)-->-2

3.提公因式-factor（）

（1）说明：

factor（）是对展开的多项式进行提公因式

（2）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
expr1 = (x ** 3 - x ** 2 + x - 1)
# 提公因数
r1 = factor(expr1)
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))

（3）输出：

\(x^{3} - x^{2} + x - 1\)-->\(\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)\)

4.合并同类项-ceiling（）

（1）说明：

对于多项式进行合并同类项

（2）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
z = Symbol('z')
expr1 = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
expr2 = x**3+x*2-3*x**2+x**3-x**2+x*4-5
# 合并同类项
r1 = ceiling(expr1)
r2 = ceiling(expr2)
print(r1)
print(r2)
print(latex(r1))
print(latex(r2))

（3）输出：

\(xy + x - 3 + 2x^2 - zx^2 + x^3\) --> \(\lceil{x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x}\rceil - 3\)

\(x^3+x2-3x^2+x^3-x^2+x4-5\) --> \(\lceil{2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x}\rceil - 5\)

5.简化分式-cancel（）

（1）说明：

cancle既有约分又有简化的作用

（2）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
expr1 = (x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)
expr2 = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)
# 约分消去分式的公因数
r1 = cancel(expr1)
# 简化分式
r2 = cancel(expr2)
# 结果
print("结果:r1", r1)
print("结果:r2", r2)
# r1的表达式与结果
print("r1的表达式与结果:")
print(latex((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)))
print(latex(r1))
# r2的表达式与结果
print("\nr2的表达式与结果:")
print(latex(1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)))
print(latex(r2))

（3）输出：

\(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x}\) --》 \(\frac{x + 1}{x}\)

\(\frac{\frac{3 x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}\) --》 \(\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} - 8 x}\)

6.分式展开-apart（）

（1）说明：

原本只有一项的分式表达式，展开为多项的分式表达式。

（2）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
expr1 = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
# 对于分式进行展开
r1 = apart(expr1)
print(r1)
print(latex(r1))
print(latex(expr1))

（3）输出：

\[\frac{4x^3 + 21x^2 + 10x + 12}{x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 4x}
\]

---》

\[\frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x}
\]

（二）三角函数的简化

1.三角形的简化-trigsimp（）

（１）说明：

使用trigsimp（）可以简化三角函数，反三角函数也可以。

（２）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
expr1 = sin(x)**2+cos(x)**2
expr2 = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4
# 进行三角形简化
r1 = trigsimp(expr1)
r2 = trigsimp(expr2)
print("r1:", r1)
print("r2:", r2)
# r1的latex
print("="*20)
print("expr1-latex:", latex(expr1))
print("r1-latex:", latex(r1))
# r2的latex
print("="*20)
print("expr2-latex:", latex(expr2))
print("r2-latex:", latex(r2))

（３）输出：

\(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\) --> \(1\)

\(\sin^{4}{\left (x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}\) --> \(\frac{\cos{\left (4 x \right )}}{2} + \frac{1}{2}\)

2.三角形的展开-expand_trig()

（１）说明：

使用expand_trig()可以展开三角函数，同样反三角函数也可以。

（２）源代码：

from sympy import *
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
expr1 = sin(x+y)
expr2 = tan(2*x)
# 三角形的展开
r1 = expand_trig(expr1)
r2 = expand_trig(expr2)
print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))
print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）输出：

\(\sin{\left (x + y \right )}\) --> \(\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} + \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}\)

\(\tan{\left (2 x \right )}\) --> \(\frac{2 \tan{\left (x \right )}}{- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1}\)

（三）指数函数的简化

1.指数的合并一-powsimp()

（１）说明：

powsimp()主要用于同底数或者同指数

（２）源代码：

from sympy import *
# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
a = Symbol('a', real=True)
expr1 = x**2*x**3
expr2 = x**a*y**a
# 进行指数的合并，如果不符合，则不进行简化
r1 = powsimp(expr1)
r2 = powsimp(expr2)
print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))
print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）输出：

\(x^2x^3\) --> \(x^5\)

\(x^ay^b\) --> \(\left(x y\right)^{a}\)

2.指数的合并二-powdenest()

（１）说明：

powdenest()主要用于只有一个底数的不同指数。

（２）源代码：

from sympy import *
# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
a = Symbol('a', real=True)
b = Symbol('b', real=True)
expr1 = (x**a)**b
expr2 = (((x**2)**a)**b)
# 进行指数的合并，如果不符合，则不进行简化
r1 = powdenest(expr1)
r2 = powdenest(expr2)
print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))
print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）输出：

\((x^a)^b\) --> \(x^{ab}\)

\({{x^2}^a}^b\) --> \(x^{2ab}\)

3.指数的展开：-expand_power_exp\expand_power_base

（１）说明：

1. expand_power_exp()用于同底数的展开
2. expand_power_base()用于同指数的展开

（２）源代码：

from sympy import *
# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
a = Symbol('a', real=True)
b = Symbol('b', real=True)
expr1 = x**(a+b)
expr2 = (x*y)**a
# 进行指数的展开
# 底数相同展开
r1 = expand_power_exp(expr1)
# 指数相同展开
r2 = expand_power_base(expr2)
print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))
print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）输出：

\(x^{a+b}\) --> \(x^{a} x^{b}\)

\(\left(x y\right)^{a}\) --> \(x^{a} y^{a}\)

（四）对数函数的简化

1.对数的简化-logcombine()

（１）说明：

logcombine()用于合并对数。

（２）源代码：

from sympy import *
# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
n = Symbol('n', real=True)
expr1 = log(x) + log(y)
expr2 = log(x) - log(y)
expr3 = n*log(x)
# 对于对数的展开
r1 = logcombine(expr1)
r2 = logcombine(expr2)
r3 = logcombine(expr3)
print(r1)
print(r2)
print(r3)

（３）输出：

\(log(x) + log(y)\) --> \(log(xy)\)

\(log(x)-log(y)\) --> \(\log(xy)\)

\(n\log(x)\) --> \(log(x^n)\)

2.对数的展开-expand_log（）

（１）说明：

expand_log（）用于对数的展开。

（２）源代码：

from sympy import *
# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
n = Symbol('n', real=True)
expr1 = log(x*y)
expr2 = log(x/y)
expr3 = log(x**n)
# 对于对数的展开
r1 = expand_log(expr1)
r2 = expand_log(expr2)
r3 = expand_log(expr3)
print(r1)
print(r2)
print(r3)

（３）输出：

\(log(xy)\) --> \(log(x)+log(y)\)

\(log(x/y)\) --> \(log(x)-\log(y)​\)

\(log(x^n)\) --> ​\(n\log(x)\)

（五）其他函数的简化

１.阶乘与排列组合-factorial()\binomial()

（１）说明：

1. factorial()用于求阶乘
2. binomial()用于求排列组合

（２）源代码：

from sympy import *
n = Symbol("n")
# 求阶乘
r1 = factorial(3)
r2 = factorial(n)
print(r1)
print(r2)
# 排列组合
print(binomial(4, 2))

（３）输出：

作者：Mark

日期：2019/03/16 周六