题目链接

Luogu P4643

题解

猫锟在WC2018讲的黑科技——动态DP,就是一个画风正常的DP问题再加上一个动态修改操作,就像这道题一样。(这道题也是PPT中的例题)

动态DP的一个套路是把DP转移方程写成矩阵乘法,然后用线段树(树上的话就是树剖)维护矩阵,这样就可以做到修改了。

注意这个“矩阵乘法”不一定是我们常见的那种乘法和加法组成的矩阵乘法。设\(A * B = C\),常见的那种矩阵乘法是这样的:

\[C_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} * B_{k, j}
\]

而这道题中的矩阵乘法是这样的:

\[C_{i, j} = \max_{k = 1}^{n} (A_{i, k} + B_{k, j})
\]

这就相当于常见矩阵乘法中的加法变成了max,乘法变成了加法。类似于乘法和加法的五种运算律,这两种变化也满足“加法交换律”、“加法结合律”、“max交换律”、“max结合律”和“加法分配律“。那么这种矩阵乘法显然也满足矩阵乘法结合律,就像正常的矩阵乘法一样,可以用线段树维护。

接下来我们来构造矩阵。首先研究DP方程。

就像“没有上司的舞会”一样,\(f_{i, 0}\)表示子树\(i\)中不选\(i\)的最大权独立集大小,\(f_{i, 1}\)表示子树\(i\)中选\(i\)的最大权独立集大小。

但这是动态DP,我们需要树链剖分。假设我们已经完成了树链剖分,剖出来的某条重链看起来就像这样,右边的是在树上深度较大的点:

此时,比这条重链的top深度大且不在这条重链上的点的DP值都是已经求出来的(这可以做到)。我们把它们的贡献,都统一于它们在这条重链上对应的那个祖先上。

具体来说,设\(g_{i, 0}\)表示不选\(i\)时,\(i\)不在链上的子孙的最大权独立集大小,\(g_{i, 1}\)表示选\(i\)时,\(i\)不在链上的子孙再加上\(i\)自己的最大权独立集大小。

假如\(i\)右面的点是\(i + 1\), 那么可以得出:

\[f_{i, 0} = g_{i, 0} + \max(f_{i + 1, 0}, f_{i + 1, 1})
\]

\[f_{i, 1} = g_{i, 1} + f_{i + 1, 0}
\]

矩阵也就可以构造出来了:

\[\begin{bmatrix}g_{i, 0} & g_{i, 0} \\g_{i, 1} & 0\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}f_{i + 1, 0} \\ f_{i + 1, 1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{i, 0} \\ f_{i, 1}\end{bmatrix}
\]

读者可以动笔验证一下。(注意我们在这里用的“新矩阵乘法”的规则:原来的乘变成加,加变成取max。)

那么基本思路就很清楚了:树剖,维护区间矩阵乘积。修改的时候,对于被修改节点到根节点路径上的每个重链(由下到上),先进行单点修改,然后求出这条重链的\(top\)在修改之后的\(f\)值,然后继续修改top所在重链。

每次答案就是节点\(1\)的\(f\)值。

代码

代码略丑,见谅……

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void read(T &x){
char c;
bool op = 0;
while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
if(c == '-') op = 1;
x = c - '0';
while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
x = x * 10 + c - '0';
if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar('0' + x % 10);
} const int N = 100005;
int n, m, a[N];
int ecnt, adj[N], nxt[2*N], go[2*N];
int fa[N], son[N], sze[N], top[N], idx[N], pos[N], tot, ed[N];
ll f[N][2]; struct matrix {
ll g[2][2];
matrix(){
memset(g, 0, sizeof(g));
}
matrix operator * (const matrix &b) const {
matrix c;
for(int i = 0; i < 2; i++)
for(int j = 0; j < 2; j++)
for(int k = 0; k < 2; k++)
c.g[i][j] = max(c.g[i][j], g[i][k] + b.g[k][j]);
return c;
}
} val[N], data[4*N]; void add(int u, int v){
go[++ecnt] = v;
nxt[ecnt] = adj[u];
adj[u] = ecnt;
} void init(){
static int que[N];
que[1] = 1;
for(int ql = 1, qr = 1; ql <= qr; ql++)
for(int u = que[ql], e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
if((v = go[e]) != fa[u])
fa[v] = u, que[++qr] = v;
for(int qr = n, u; qr; qr--){
sze[u = que[qr]]++;
sze[fa[u]] += sze[u];
if(sze[u] > sze[son[fa[u]]])
son[fa[u]] = u;
}
for(int ql = 1, u; ql <= n; ql++)
if(!top[u = que[ql]]){
for(int v = u; v; v = son[v])
top[v] = u, idx[pos[v] = ++tot] = v;
ed[u] = tot;
}
for(int qr = n, u; qr; qr--){
u = que[qr];
f[u][1] = max(0, a[u]);
for(int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
if(v = go[e], v != fa[u]){
f[u][0] += max(f[v][0], f[v][1]);
f[u][1] += f[v][0];
}
}
} void build(int k, int l, int r){
if(l == r){
ll g0 = 0, g1 = a[idx[l]];
for(int u = idx[l], e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
if((v = go[e]) != fa[u] && v != son[u])
g0 += max(f[v][0], f[v][1]), g1 += f[v][0];
data[k].g[0][0] = data[k].g[0][1] = g0;
data[k].g[1][0] = g1;
val[l] = data[k];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(k << 1, l, mid);
build(k << 1 | 1, mid + 1, r);
data[k] = data[k << 1] * data[k << 1 | 1];
}
void change(int k, int l, int r, int p){
if(l == r){
data[k] = val[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if(p <= mid) change(k << 1, l, mid, p);
else change(k << 1 | 1, mid + 1, r, p);
data[k] = data[k << 1] * data[k << 1 | 1];
}
matrix query(int k, int l, int r, int ql, int qr){
if(ql <= l && qr >= r) return data[k];
int mid = (l + r) >> 1;
if(qr <= mid) return query(k << 1, l, mid, ql, qr);
if(ql > mid) return query(k << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
return query(k << 1, l, mid, ql, qr) * query(k << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
}
matrix ask(int u){
return query(1, 1, n, pos[top[u]], ed[top[u]]);
}
void path_change(int u, int x){
val[pos[u]].g[1][0] += x - a[u];
a[u] = x;
matrix od, nw;
while(u){
od = ask(top[u]);
change(1, 1, n, pos[u]);
nw = ask(top[u]);
u = fa[top[u]];
val[pos[u]].g[0][0] += max(nw.g[0][0], nw.g[1][0]) - max(od.g[0][0], od.g[1][0]);
val[pos[u]].g[0][1] = val[pos[u]].g[0][0];
val[pos[u]].g[1][0] += nw.g[0][0] - od.g[0][0];
}
} int main(){ read(n);
read(m);
for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
for(int i = 1, u, v; i < n; i++)
read(u), read(v), add(u, v), add(v, u);
init();
build(1, 1, n);
int u, x;
matrix t;
while(m--){
read(u), read(x);
path_change(u, x);
t = ask(1);
write(max(t.g[0][0], t.g[1][0])), enter;
} return 0;
}

Luogu P4643 【模板】动态dp的更多相关文章

  1. [luogu 4719][模板]动态dp

    传送门 Solution \(f_{i,0}\) 表示以i节点为根的子树内,不选i号节点的最大独立集 \(f_{i,1}\)表示以i节点为根的子树内,选i号节点的最大独立集 \(g_{i,0}\) 表 ...

  2. [模板] 动态dp

    用途 对于某些树形dp(目前只会树上最大权独立集或者类似的),动态地修改点权,并询问修改后的dp值 做法(树剖版) 以最大权独立集为例 设$f[x][0/1]$表示x选不选,这棵子树的最大权独立集大小 ...

  3. 【洛谷】P4643 【模板】动态dp

    题解 在冬令营上听到冬眠的东西,现在都是板子了猫锟真的是好毒瘤啊(雾) (立个flag,我去thusc之前要把WC2018T1乱搞过去= =) 好的,我们可以参考猫锟的动态动态dp的课件,然后你发现你 ...

  4. LG4719 【模板】动态dp 及 LG4751 动态dp【加强版】

    题意 题目描述 给定一棵\(n\)个点的树,点带点权. 有\(m\)次操作,每次操作给定\(x,y\),表示修改点\(x\)的权值为\(y\). 你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小 ...

  5. 洛谷4719 【模板】动态dp

    题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4719 关于动态DP似乎有猫锟的WC2018论文,但找不见:还是算了. http://immortalco.blo ...

  6. 洛谷P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治

    [模板]"动态 DP"&动态树分治 第一道动态\(DP\)的题,只会用树剖来做,全局平衡二叉树什么的就以后再学吧 所谓动态\(DP\),就是在原本的\(DP\)求解的问题上 ...

  7. 【模板】动态 DP

    luogu传送门. 最近学了一下动态dp,感觉没有想象的难. 动态DP simple的DP是这样的: 给棵树,每个点给个权值,求一下最大权独立集. 动态DP是这样的: 给棵树,每个点给个权值还到处改, ...

  8. 洛谷P4719 【模板】动态dp(ddp LCT)

    题意 题目链接 Sol 动态dp板子题.有些细节还没搞懂,待我研究明白后再补题解... #include<bits/stdc++.h> #define LL long long using ...

  9. 「LGP4719【模板】动态dp」

    题目 尽管知道这个东西应该不会考了,但是还是学一学吧 哎要是去年noip之前学该多好 动态\(dp\)就是允许修改的一个\(dp\),比如这道题,我们都知道这是一个树上最大点权独立集 众所周知方程长这 ...

随机推荐

  1. 基于LBS的六边形热力图算法

    六边形算法: 我把六边形铺满的分布图进行了切分,切分为矩形,每个矩形中有一个六边形.4个三角形.两个小长方形,依次计算.边界判断上,采用主流的MP>MN的方式(M为上边界对称点,N为与六边形的交 ...

  2. SQLServer之创建表值函数

    表值函数创建注意事项 用户定义表值函数返回 table 数据类型. 对于内联表值函数,没有函数主体,表是单个 SELECT 语句的结果集. 表值函数主要用于数据计算出来返回结果集. 使用SSMS数据库 ...

  3. iOS开发者学习Flutter

    Flutter for iOS 开发者 本文档适用那些希望将现有 iOS 经验应用于 Flutter 的开发者.如果你拥有 iOS 开发基础,那么你可以使用这篇文档开始学习 Flutter 的开发. ...

  4. 【转载】DSP基础--定点小数运算

    在FPGA实现算法过程中,大多数情况是用占用资源较少,延迟较低的定点数代替浮点数参与运算.那么浮点与定点数之间的区别以及转换方式是怎么的?下边这篇博文详细说明了这一问题.虽然是针对DSP芯片的,但思想 ...

  5. 创建你的一个composer包

    如何创建自己的一个composer包,这个其实很好解决的!只要你了解composer相关的知识便不难做到. 首先,你还不知道什么是composer的话,请先学习下composer的相关知识.简单的说, ...

  6. python进阶之time模块详解

    Time模块 Time模块包含的函数 Time模块包含了一下内置的函数,既有时间处理的,也有转换时间格式的: 序号 函数及描述 1 time.altzone 返回格林威治西部的夏令时地区的偏移秒数.如 ...

  7. 解决Base64报错

  8. yum源 Python3 Django mysql安装

    yum 源安装 yum源位置: yum源仓库的地址 在/etc/yum.repos.d/,并且只能读出第一层的repo文件 yum仓库的文件都是以.repo结尾的 linux软件包管理 yum工具如同 ...

  9. 入门 Webpack,一篇就够了

    阅读本文之前,先看下面这个webpack的配置文件,如果每一项你都懂,那本文能带给你的收获也许就比较有限,你可以快速浏览或直接跳过:如果你和十天前的我一样,对很多选项存在着疑惑,那花一段时间慢慢阅读本 ...

  10. [LeetCode] 7. 整数反转

    题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/reverse-integer/ 题目描述: 给出一个 32 位的有符号整数,你需要将这个整数中每位上的数字进行反转. 示例 ...