蓝桥 PREV-30 历届试题 波动数列 【动态规划】

  历届试题 波动数列  

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问题描述

　　观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

题目链接：

　　http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T122

题目大意：

　　一个数列长度为n，每一项等于前一项+a或者-b，数列和为s，求数列的个数 mod 100000007。

题目思路：

　　【动态规划】

　　首先考虑如果全+a，数列和则会+a*(n-1)n/2，-b同理

　　即对于和s来说总共有(n-1)n/2次+或-操作。于是考虑如何将(n-1)n/2次操作分配给+a和-b。

　　容易想到这就是一个DP问题  f[i][j]表示前i个数，+a了j次的方案数。

　　第i个+a: f[i-1][j-i]， 第i个-b: f[i-1][j]

　　最后枚举+a的个数为i的情况下，将数列和s补到+a-b之前的状态，看是否满足%n=0(即求首项为整数)

　　可行则答案加上当前的分配方案数。

　　f[i][j]可以化成1维

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 #pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
 #define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
 #define lowbit(a) (a&(-a))
 #define sqr(a) ((a)*(a))
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 const double eps=1e-;
 const int J=;
 const int MOD=;
 const int MAX=0x7f7f7f7f;
 const double PI=3.14159265358979323;
 const int N=;
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 double anss;
 LL aans;
 int cas,cass;
 int n,m,lll,ans;
 LL s,a,b;
 LL f[N*N];
 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
 //    freopen("1.txt","r",stdin);
 //    freopen("2.txt","w",stdout);
     #endif
     int i,j,k,l;
     int x,y,z;
 //    for(scanf("%d",&cass);cass;cass--)
 //    for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
 //    while(~scanf("%s",s))
     while(~scanf("%d",&n))
     {
         mem(f,);
         cin>>s>>a>>b;
         f[]=;aans=;
         for(i=;i<n;i++)
             for(j=i*(i+)/;j>=i;j--)
                 f[j]=(f[j]+f[j-i])%MOD;
         for(i=;i<=n*(n-)/;i++)
         {
             LL t=s-i*a+((n-)*n/-i)*b;
             if(t%n==)aans=(aans+f[i])%MOD;
         }
         cout<<aans<<endl;
     }
     return ;
 }
 /*
 //

 //
 */