P3291 [SCOI2016]妖怪

传送门

我数学的确白学了……这种题目竟然一点思路都没有……

首先可以把每个妖怪看成二维平面上的一个点，那么每一个环境\((a,b)\)就可以看成一条斜率\(k=-\frac{b}{a}\)的过该点的直线，战斗力就是这条直线在两坐标轴上的截距之和

对于每一个妖怪来说，它的战斗力为\(x+y-kx-\frac{y}{k}\)，后面是个对勾函数，当\(k=-\sqrt{\frac{y}{x}}\)的时候函数取到最小值

那么我们维护一个右上凸壳，然后对于每一个点先用它和上一个点的直线更新答案，然后计算它的最优斜率，如果这个斜率的直线在凸包上刚好切到这一个点那么就更新答案

复杂度\(O(nlogn)\)

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>b;--i)
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
int read(){
    int res,f=1;char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=1e6+5;
struct node{
	int x,y;
	node(){}
	node(int x,int y):x(x),y(y){}
	inline node operator -(const node &b){return node(x-b.x,y-b.y);}
	inline double operator *(const node &b){return 1.0*x*b.y-1.0*y*b.x;}
	inline bool operator <(const node &b)const{return x==b.x?y>b.y:x<b.x;}
}p[N],st[N];
int n,top;double ans=1e10,k;
inline double K(const node &b){return -sqrt(1.0*b.y/b.x);}
inline double xl(const node &a,const node &b){return a.x==b.x?-1e60:1.0*(a.y-b.y)/(a.x-b.x);}
inline double calc(const node &b,double k){return fabs(k)<eps?1e20:1.0*b.x+b.y-1.0*b.x*k-1.0*b.y/k;}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read();fp(i,1,n)p[i].x=read(),p[i].y=read();
	sort(p+1,p+1+n);
	fp(i,1,n){
		while(top>=2&&(st[top]-st[top-1])*(p[i]-st[top])>0)--top;
		st[++top]=p[i];
	}
	if(top==1)ans=calc(st[1],K(st[1]));
	else{
		k=K(st[1]);if(k>=xl(st[1],st[2]))cmin(ans,calc(st[1],k));
		k=K(st[top]);if(k<=xl(st[top-1],st[top]))cmin(ans,calc(st[top],k));
		cmin(ans,calc(st[top],xl(st[top-1],st[top])));
	}
	fp(i,2,top-1){
		k=K(st[i]);
		if(k<=xl(st[i-1],st[i])&&k>=xl(st[i],st[i+1]))cmin(ans,calc(st[i],k));
		cmin(ans,calc(st[i],xl(st[i-1],st[i])));
	}printf("%.4lf\n",ans);return 0;
}