【题解】永无乡 [HNOI2012] [BZOJ2733] [P3224]

【题目描述】

永无乡包含 $n$ 座岛，编号从 $1$ 到 $n$ ，每座岛都有自己的独一无二的重要度，按照重要度可以将这 $n$ 座岛排名，名次用 $1$ 到 $n$ 来表示。某些岛之间由巨大的桥连接，通过桥可以从一个岛到达另一个岛。如果从岛 $a$ 出发经过若干座（包括 $0$ 座）桥可以到达岛 $b$ ，则称岛 $a$ 和岛 $b$ 是连通的。

现在有两种操作：

$B$ $x$ $y$ $:$ 表示在岛 $x$ 与岛 $y$ 之间修建一座新桥。

$Q$ $x$ $k$ $:$ 表示询问当前与岛 $x$ 连通的所有岛中第 $k$ 重要的是哪座岛，即所有与岛 $x$ 连通的岛中重要度排名第 $k$ 小的岛是哪座，请你输出那个岛的编号。

【输入】

第一行两个正整数 $n$ 和 $m$ ，分别表示岛的个数以及一开始存在的桥数。

接下来的一行有 $n$ 个数，依次描述从岛 $1$ 到岛 $n$ 的重要度。

随后的 $m$ 行每行两个正整数 $a_i$ 和 $b_i$ ，表示一开始就存在一座连接岛 $a_i$ 和岛 $b_i$ 桥。

后面第一行一个正整数 $q$，表示一共有 $q$ 个操作，接下来的 $q$ 表示 $q$ 个操作。

【输出】

对于每个 $Q$ $x$ $k$ 的操作依次输出一行，其中包含一个整数，表示所询问岛屿的编号。如果该岛屿不存在，则输出 $-1$ 。

【样例】

【数据范围】

$20\%$ $1 \leqslant n \leqslant 1000,1 \leqslant q \leqslant 1000$

$100\%$ $1 \leqslant n \leqslant 1e5,m \leqslant n,1 \leqslant q \leqslant 3e5$

【分析】

不会线段树的先到隔壁去逛逛：线段树详解（全）

一道线段树合并的好题

用并查集维护各个连通块，每个块都建立一棵权值线段树，在合并两个块的同时，将它们的线段树也进行合并。那么原问题就变成了在一棵线段树中求第 $k$ 小，而这个是权值线段树的基本操作。

【Code】

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#define mid (L+R>>1)

#define pl tr[p].lp

#define pr tr[p].rp

#define Re register int

#define F(a,b) for(i=a;i<=b;++i)

using namespace std;

const int N=2e5+3;char c;

int x,y,i,n,m,cnt,f[N],id[N],pt[N];//pt[i]表示离散化后i这个位置所对应的权值树根的编号

struct QAQ{int g,lp,rp;}tr[N<<5];//权值树，保守开一个32*N

inline void in(Re &x){//【快读】自己动手,丰衣足食...

    x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

}

inline int build(Re L,Re R,Re x){//开一个空的权值树

    Re p=++cnt;++tr[p].g;//【动态开点】

    if(L==R)return p;

    if(x<=mid)pl=build(L,mid,x);

    else pr=build(mid+1,R,x);

    return p;

}

inline int merge(Re p,Re q){//【线段树合并】

    if(!p)return q;if(!q)return p;

    //当需要合并的点的其中一个编号为0时 (即为空)，返回另一个编号

    tr[p].g+=tr[q].g,p;//把q合并到p上面去

    pl=merge(pl,tr[q].lp);//分别合并左子树,右子树

    pr=merge(pr,tr[q].rp);

    return p;

}

inline int ask(Re p,Re L,Re R,Re k){//查询

    if(L==R)return id[R];//边界：L==R

    Re tmp=tr[pl].g;//计算左子树共有多少个数字

    if(tmp>=k)return ask(pl,L,mid,k);//左子树已经超过k个，说明第k小在左子树里面

    else return ask(pr,mid+1,R,k-tmp);//左子树不足k个，应该在右子树中找第(k-tmp)小

}

inline int find(Re x){if(x!=f[x])f[x]=find(f[x]);return f[x];}

int main(){

    in(n),in(m);

    F(1,n)in(x),id[x]=i,f[i]=i,pt[i]=build(1,n,x);

    //用id[x]表示重要度为x的点的编号,给每个点建一棵树

    while(m--){//初始的桥要连起来

    	in(x),in(y),x=find(x),y=find(y);

    	merge(pt[x],pt[y]),f[y]=f[x];//注意这里merge(pt[],pt[])和f[]=f[]中x,y的顺序要相反

    }

    in(m);

    while(m--){

        scanf(" %c",&c),in(x),in(y),x=find(x);

        if(c=='B')y=find(y),merge(pt[x],pt[y]),f[y]=f[x];

        else{

            if(tr[pt[x]].g<y)printf("-1\n");//如果总个数都小于y，说明没有第y大的数，直接输出-1

            else printf("%d\n",ask(pt[x],1,n,y));

        }

     }

}