logistic regression教程3

在线性拟合的基础上，我们实现logistic regression。

如前所述，样本集是

{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}[1]

其中，xi=[1,xi,1,xi,2,xi,3,...,xi,k]T，且yi∈(0,1)。注意，这里对yi有值上的要求，必须如此，如果值不再这个区间，要以归一化的方式调整到这个区间。对于分类问题，则yi的取值或者是0，或者是1，也就是yi∈{0,1}。

当然，从严格的意义上说，logistic regression拟合后，yi的值只能无限地逼近0和1，而不能真正达到0和1，但在处理实际问题上，可以设定成形如 ifyi>0.5thenyi=1和ifyi<=0.5thenyi=0解决。

Logistic regression的拟合形式如下：

yi=f(zi)[2]

zi=Wxi[3]

其中，f(z)=11+e−z[4]，也就是Logistic函数。

根据公式[2]和公式[3]，则：

yi=f(Wxi)[4]

那么，如果用公式[4]拟合xi和yi的关系，需要求解W，使得在公式[1]上误差最小。对应的损失函数就是

Loss=12∑i=1n(yi−f(Wxi))2[5]

跟前面的一样，我们用梯度下降法求解。 
所以，要对公式[5]求wj的一阶偏导，于是有

∂Loss∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))×(−1)×∂f(Wxi)∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))×(−1)×∂f(zi)∂zi×∂zi∂wj[6]

注意，问题来了，公式[6]的最后一步，实际上是将Wxi视为一个变量zi，分别求导。这一步是在高等数学有详细描述了，不解释。

公式[6]中的∂f(zi)∂zi等价于f′(z)，因为只有一个自变量z。根据公式[4]，可以求出

f′(z)=ez(ez+1)2[7]

对公式[7]可以做一次变形，以方便求解: 
根据公式[4]，可以知道

ez=f(z)1−f(z)[8]

将公式[8]代入到公式[7]，就可以得到

f′(z)=f(z)×(1−f(z))[9]

也就是说，我们可以根据f(z)得到f′(z)，而且计算量很小。

把公式[9]代入公式[6]，就得到

∂Loss∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))×(−1)×∂f(zi)∂zi×∂zi∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))×(−1)×f(zi)×(1−f(zi))×∂zi∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))×(−1)×f(Wxi)×(1−f(Wxi))×∂(Wxi)∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))×(−1)×f(Wxi)×(1−f(Wxi))×∂(Wxi)∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))×(−1)×f(Wxi)×(1−f(Wxi))×xi,j=∑i=1n(yi−f(Wxi))×f(Wxi)×(f(Wxi)−1)×xi,j[10]

于是公式[10]可以写成

∂Loss∂wj=∑i=1n(yi−f(Wxi))f(Wxi)(f(Wxi)−1)xi,j[11]

那么，wj在梯度下降法的迭代公式就是

wj=wj+△wj=wj−∂Loss∂wj[12]

现在，我们开始做最麻烦的一步，将公式[11]进行矩阵化 
令

Y=[y1,y2,...,yn][13]

W=[w0,w1,w2,...,wk][14]

X=⎛⎝⎜⎜⎜⎜11...1x1,1x2,1...xn,1x1,2x2,2...xn,2............x1,kx2,k...xn,k⎞⎠⎟⎟⎟⎟[15]

V=⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(Wx1)(f(Wx1)−1)0...00f(Wx2)(f(Wx2)−1)...0............00...f(Wxn)(f(Wxn)−1)⎞⎠⎟⎟⎟⎟[16]

L=[f(Wx1),f(Wx2),...,f(Wxn)][17]

公式[16]略有一点复杂，它是对角矩阵。 
根据上述设定，公式[11]的矩阵化形式就是

∂Loss∂wj=(Y−L)V⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1,jx2,j...xn,j⎞⎠⎟⎟⎟⎟[18]

那么，对W而言，更新公式就是

W=W−(Y−L)VX[19]

到这里，logisitci regression的梯度下降法推导就结束了。下一篇我们用python实现求解过程。