PAT甲级题分类汇编——杂项

本文为PAT甲级分类汇编系列文章。

集合、散列、数学、算法，这几类的题目都比较少，放到一起讲。

题号	标题	分数	大意	类型
1063	Set Similarity	25	集合相似度	集合
1067	Sort with Swap(0, i)	25	通过与0号元素交换来排序	数学
1068	Find More Coins	30	子集和问题	算法
1070	Mooncake	25	背包问题	算法
1078	Hashing	25	散列	散列
1085	Perfect Sequence	25	符合约束的最大数列长度	集合
1092	To Buy or Not to Buy	20	判断子集	集合
1093	Count PAT's	25	数子串	数学

1063就是 std::set 的使用，1092更水，这两道不做了。

集合-1085：

集合，表示方法多种多样，简单的有用数组表示的并查集，复杂的有基于红黑树的 std::set 。

但我也不知道当时整理的时候怎么把这道题分到集合里来了，但还真挺难说这道题怎么分类的。题目要求从输入数据中找出最大的子列（不一定连续）满足最大值不超过最小值的给定倍数。

实现方法比较简单，先排序，然后对于每个数，找到第一个超过它的倍数的数，迭代器相减一下就是长度。查找要用二分不能用线性，会超时。

 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <algorithm>

 int main()
 {
     long num, para;
     std::cin >> num >> para;
     std::vector<long> data(num);
     for (auto& i : data)
         std::cin >> i;
     std::sort(data.begin(), data.end());
     int max = ;
     for (int i = ; i != num; ++i)
     {
         if (i ==  || data[i] != data[i - ])
         {
             auto left = data.begin() + i;
             auto right = data.end();
             while (left < right)
             {
                 auto mid = left + (right - left) / ;
                 if (*mid > data[i] * para)
                     right = mid;
                 else
                     left = mid + ;
             }
             int length = right - data.begin() - i;
             if (length > max)
                 max = length;
             if (right == data.end())
                 break;
         }
     }
     std::cout << max;
 }

散列-1078：

纯理论地考察散列知识，用单向平方探测法处理冲突。没什么好说的，就是很标准的散列。数据结构那个题集中有一道hard version，那个真的难。

 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <cmath>

 bool is_prime(int _num)
 {
     if (_num == )
         return false;
     if (_num >  && _num %  == )
         return false;
     int end = std::sqrt(_num);
     for (int i = ; i <= end; i += )
         if (_num % i == )
             return false;
     return true;
 }

 int main(int argc, char const *argv[])
 {
     int m;
     std::cin >> m;
     while (!is_prime(m))
         ++m;
     std::vector<bool> hash(m);
     int n;
     std::cin >> n;
     for (int i = ; i != n; ++i)
     {
         try
         {
             int t;
             std::cin >> t;
             for (int j = ; j != m; ++j)
             {
                 int h = (t + j * j) % m;
                 if (hash[h] == )
                 {
                     hash[h] = ;
                     if (i > )
                         std::cout << ' ';
                     std::cout << h;
                     throw ;
                 }
             }
             if (i > )
                 std::cout << ' ';
             std::cout << '-';
         }
         catch (...)
         {
             ;
         }
     }
     return ;
 }

数学-1067：

乍一看，完全没有思路。正常排序哪有这么玩的？显然，这道题不考排序，需要一点数学知识把问题转化一下。

对于一个序列，如果值与位置的集合相等，那么一定可以形成若干个环。这道题中需要考虑的是：一元环，即就在应该在的位置上的元素，以及0处于什么样的环中。

自己编几个数据试一下就会发现，需要交换的次数为：

当0处于0号位置时，序列长度+多元环个数-一元环个数（包括0）；

当0号位置不是0时，序列长度+多元环个数-一元环个数-2。

 #include <iostream>
 #include <utility>

 int main(int argc, char const *argv[])
 {
     int n;
     std::cin >> n;
     std::pair<int, bool> data[n];
     int loop = ;
     int single = ;
     for (auto& i : data)
         std::cin >> i.first;
     for (int i = ; i != n; ++i)
     {
         if (data[i].second)
             continue;
         data[i].second = ;
         if (data[i].first == i)
             ++single;
         else
         {
             ++loop;
             int t = data[i].first;
             while (!data[t].second)
                 data[t].second = , t = data[t].first;
         }
     }
     if (data[].first == )
         std::cout << n + loop - single;
     else
         std::cout << n + loop - single - ;

     return ;
 }

数学-1093：

要求数“PAT”的个数。如果一个个数的话肯定超时，毕竟题目中都说了数量很大要取模。

正常的算法也不麻烦。先从左向右遍历，数‘P’的数量，在遇到'A'时记录下来；再从右向左遍历，数'T'的数量，也在遇到'A'时记录下来；最后遍历，对每个'A'计算刚才记录的数的乘积并累加。

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

int main()
{
    std::string str;
    std::cin >> str;
    std::vector<int> count_p(str.size());
    std::vector<int> count_t(str.size());
    long count = ;
    for (int i = ; i != str.size(); ++i)
        if (str[i] == 'P')
            ++count;
        else if (str[i] == 'A')
            count_p[i] = count;
    count = ;
    for (int i = str.size() - ; i >= ; --i)
        if (str[i] == 'T')
            ++count;
        else if (str[i] == 'A')
            count_t[i] = count;
    count = ;
    for (int i = ; i != str.size(); ++i)
        if (str[i] == 'A')
            count += count_p[i] * count_t[i];
    count %= ;
    std::cout << count;
}

算法-1070：

贪心算法，在数据结构的Dijkstra中提到过一句，没有系统讲过。但是，这道题的算法相当显然，对每种月饼的单价排序，从高到低选择即可。

 #include <iostream>
 #include <iomanip>
 #include <vector>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 struct Mooncake
 {
     double weight;
     double price;
 };

 int main()
 {
     int num;
     double demand;
     std::cin >> num >> demand;
     std::vector<Mooncake> product(num);
     for (auto& p : product)
         std::cin >> p.weight;
     for (auto& p : product)
         std::cin >> p.price;
     std::sort(product.begin(), product.end(), [](const Mooncake& lhs, const Mooncake& rhs) {
         return lhs.price / lhs.weight > rhs.price / rhs.weight;
     });
     double total = ;
     double profit = ;
     for (const auto& p : product)
     {
         double weight = p.weight > demand - total ? demand - total : p.weight;
         total += weight;
         profit += weight / p.weight * p.price;
         if (std::abs(total - demand) < 0.001)
             break;
     }
     std::cout.setf(std::ios::fixed);
     std::cout << std::setprecision() << profit;
 }

算法-1068：

这道题压轴，因为我不会。

因为不会，所以瞎写。先写了个递归实现，对每种硬币的数量枚举，其中递归调用函数。遇到有符合要求的组合时，就抛出异常，将硬币组合作为异常参数。结果两个样例竟然都过了，然而提交的结果是4个accept、1个wrong、2个timeout。毕竟递归了，时间复杂度是指数量级的，不超时才怪呢。

想不出更好的算法，去查了答案。这道题是01背包问题，属于动态规划算法，我还没学到，难怪不会做。而且这道题是01背包问题的特殊版，子集和问题，重量和价值都是数的大小。类似的还有著名的两数和、三数和、四数和等。

核心算法是抄的，来自这篇博客。

 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <algorithm>
 #include <functional>

 int main()
 {
     int num, target;
     std::cin >> num >> target;
     std::vector<int> coin(num);
     for (auto& i : coin)
         std::cin >> i;
     std::sort(coin.begin(), coin.end(), std::greater<int>());
     std::vector<std::vector<bool>> select(num);
     for (auto& v : select)
         v.resize(target + );
     std::vector<int> total(target + );
     for (int i = ; i != num; ++i)
         for (int j = target; j >= coin[i]; --j)
             if (total[j] <= total[j - coin[i]] + coin[i])
             {
                 select[i][j] = true;
                 total[j] = total[j - coin[i]] + coin[i];
             }
     if (total[target] != target)
     {
         std::cout << "No Solution";
         return ;
     }
     int price = target;
     int which = num - ;
     std::vector<int> found;
     while (price)
     {
         if (select[which][price])
         {
             found.push_back(coin[which]);
             price -= coin[which];
         }
         --which;
     }
     int count = ;
     for (int i : found)
     {
         if (count++)
             std::cout << ' ';
         std::cout << i;
     }
 }

最后还要说一句，Eva你已经是一个大孩子了，要学会自己解决问题，别总是让我写算法。关键问题是你还老给我出难题。