【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part III)

title: 【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part III)

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- The Normal Distributions

- The Standard Normal Distribution

- The Lognormal Distributions

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date: 2018-03-30 08:58:10

Abstract: 本文介绍正态分布第三部分，标准正态分布，正态分布的线性组合，对数正态分布以及对数正态分布

Keywords: The Normal Distributions，The Standard Normal Distribution

开篇废话

废话就是概率论基础知识部分快要结束了，接下来的关于数理统计部分的内容很多都是依赖概率论的知识的，所以打好基础才好继续深入。

本文继续介绍标准正态分布，以及正态分布不同参数的比较。

The Standard Normal Distribution

Definition Standard Normal Distribution.The normal distribution with mean 0 and variance 1 is called the standard normal distribution.The p.d.f. of the standard nromal distribution is usually denoted by the symbol ϕ\phiϕ ,and the c.d.f. is denoted by the symbol Φ\PhiΦ .Thus,

ϕ(x)=f(x∣0,1)=1(2π)1/2e−12x2 for −∞<x<∞
\phi(x)=f(x|0,1)=\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}x^2} \text{ for }-\infty<x<\infty
ϕ(x)=f(x∣0,1)=(2π)1/21e−21x2 for −∞<x<∞

and

Ψ(x)=∫−∞xΨ(μ)dμ for −∞<x<∞
\Psi(x)=\int^{x}_{-\infty}\Psi(\mu)d\mu \text{ for }-\infty<x<\infty
Ψ(x)=∫−∞xΨ(μ)dμ for −∞<x<∞

第二个公式中 μ\muμ 是个哑变量，根据微积分基本定理可以知道上面写的 c.d.f.的导数就是p.d.f.

正则化的本质就是均值为0，方差为1的正态分布被称为正态分布家族中的标准。

c.d.f是使用初等函数是无法求得的，也就是没有一个封闭的形式，就像本本节开始时说的，只能用查表或者数值法来求p.d.f的某段积分，或者查询c.d.f的结果做差得到对应段的p.d.f.

Theorem Consequences of Symmetry.For all x and all 0<p<10 < p < 10<p<1

Ψ(−x)=1−Ψ(x) and Ψ−1(p)=−Ψ−1(1−p)
\begin{aligned}
\Psi(-x)=1-\Psi(x)
\text{ and }
\Psi^{-1}(p)=-\Psi^{-1}(1-p)
\end{aligned}
Ψ(−x)=1−Ψ(x) and Ψ−1(p)=−Ψ−1(1−p)

这个证明相对简单，其实主要考察的是上一篇关于正态分布的形状问题，正态分布p.d.f.的根本性质是对称性，关于均值对称，这个性质就可以衍生出上面定理的结论，比如 Pr(X≤−x)=Pr(X≥x)Pr(X\leq -x)=Pr(X\geq x)Pr(X≤−x)=Pr(X≥x) 就是对称性质的体现，然后是c.d.f.的反函数重新改写前面这个对称性质，等是左边为 Ψ−1(Ψ(−x))=Ψ−1(p)\Psi^{-1}(\Psi(-x))=\Psi^{-1}(p)Ψ−1(Ψ(−x))=Ψ−1(p) 以及等式右边 Ψ−1(1−Ψ(x))=−Ψ−1(1−p)\Psi^{-1}(1-\Psi(x))=-\Psi^{-1}(1-p)Ψ−1(1−Ψ(x))=−Ψ−1(1−p)

Theorem Converting Normal Distributions to Standard.Let XXX have the normal distribution with mean μ\muμ and variance σ2\sigma^2σ2 .Let FFF be the c.d.f. of XXX .Then Z=(X−μ)/σZ=(X-\mu)/\sigmaZ=(X−μ)/σ has the standard normal distribution, and ,for all x and all 0<p<10 < p < 10<p<1

F(x)=Φ(x−μσ)F−1(p)=μ+σΦ−1(p)
F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\\
F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)
F(x)=Φ(σx−μ)F−1(p)=μ+σΦ−1(p)

这个定理要完成的一个任务是把一个一般的正态分布，通过随机变量的函数将原正态分布转换成标准正态分布，方法是目标随机变量减去均值后的差再除以标准差。

证明

Pr(X≤x)=Pr(Z≤x−μσ)
Pr(X\leq x)=Pr(Z\leq \frac{x-\mu}{\sigma})
Pr(X≤x)=Pr(Z≤σx−μ)

这就能得到结论了，令 p=F(x)p=F(x)p=F(x) 能得到 F−1(p)=μ+σΦ−1(p)F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)F−1(p)=μ+σΦ−1(p) 的结论。

我们来举个计算的例子，我们来计算一个正态分布中的概率，假设X有一个正态分布，均值是5方差是2，我们来计算 Pr(1<X<8)Pr(1<X<8)Pr(1<X<8)

如果我们令 Z=(X−5)/2Z=(X-5)/2Z=(X−5)/2 那么Z会有一个标准的正态分布并且：

Pr(1<X<8)=Pr(1−52<X−52<8−52)=Pr(−2<Z<1.5)futhermore:Pr(−1<Z<1.5)=Pr(Z<1.5)−Pr(Z≤−2)=Φ(1.5)−Φ(−2)=Φ(1.5)−[1−Φ(2)]
Pr(1<X<8)=Pr(\frac{1-5}{2}<\frac{X-5}{2}<\frac{8-5}{2})=Pr(-2<Z<1.5)\\
\text{futhermore:}\\
\begin{aligned}
Pr(-1<Z<1.5)&=Pr(Z<1.5)-Pr(Z\leq -2)\\
&=\Phi(1.5)-\Phi(-2)\\
&=\Phi(1.5)-[1-\Phi(2)]
\end{aligned}
Pr(1<X<8)=Pr(21−5<2X−5<28−5)=Pr(−2<Z<1.5)futhermore:Pr(−1<Z<1.5)=Pr(Z<1.5)−Pr(Z≤−2)=Φ(1.5)−Φ(−2)=Φ(1.5)−[1−Φ(2)]

从书后标准正态分布的表格中可以查到c.d.f.为 Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332Φ(1.5)=0.9332 并且 Φ(2)=0.9773\Phi(2)=0.9773Φ(2)=0.9773 所以

Pr(1<X<8)=0.9105
Pr(1<X<8)=0.9105
Pr(1<X<8)=0.9105

本section的精髓是，首先我们没办法计算正态分布的不定积分，所以想求值要查表，查表你有不能对每一个分布参数都建表，所以要制造一个标准，其他的不同参数和标准有数字关系，于是定义一个标准正态分布，然后所有正态分布和标准正态分布产生数字联系，就能用一张表解决问题了。

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