Educational Codeforces Round 88 (Rated for Div. 2) E. Modular Stability（数论）

题目链接：https://codeforces.com/contest/1359/problem/E

题意

有一大小为 $k$ 的数组，每个元素的值在 $[1,n]$ 间，若元素间两两不等，问有多少数组对于任意非负整数 $x$ 满足：

$x\ \%\ a_{1} \ \%\  a_{2} \ \%\  ...  \ \%\  a_{k} = x \ \%\  a_{p1} \ \%\  a_{p2} \ \%\  ...  \ \%\  a_{p_k}$

其中，$p$ 为 $k$ 的任一种排列，$a_1<a_2<...<a_k$ 。

题解

易得该式的结果取决于最小的 $a_i$ 。

假设数组 $a$ 中最小的数为 $a_1$，设 $x = na_1 + m\ (\ n ≥ 0,\ 0 ≤ m < a_1\ )$，该式的值即为 $m$，由此推出 $x \ \%\  a_i$ 后 $\%\ a_1$ 仍为 $m$，即 $(n_1a_1 + m) \ \%\  a_i = n_2a_1 + m$，所以 $a_i$ 为 $a_1$ 的倍数。

又因为 $k$ 个数两两不同，所以枚举 $a_1$ 的值，从余下 $\frac{n}{a_1} - 1$ 个 $a_1$ 的倍数中选取 $k - 1$ 个即可。

即 $\sum_{i = 1}^{n} C_{\frac{n}{i} - 1}^{k - 1}$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;
const int mod = 998244353;
 
ll fpow(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
 
ll inv(ll x) {
    return fpow(x, mod - 2);
}
 
ll C(ll n, ll m) {
    if (n < m) return 0;
    ll res = 1;
    ll mi = min(m, n - m);
    for (int i = 1; i <= mi; i++)
        res = res * (n - i + 1) % mod * inv(i) % mod;
    return res;
}
 
int main() {
    int n, k; cin >> n >> k;
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans += C(n / i - 1, k - 1), ans %= mod;
    cout << ans << "\n";
}