【RAY TRACING THE REST OF YOUR LIFE 超详解】 光线追踪 3-2 蒙特卡罗(二) 重要性采样

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preface

还记的我们上一篇说的Monte Carlo 维度诅咒吗

上一篇算是二维的例子吧，大家看了之后是否想着写一个一维的Monte Carlo模拟积分？（我想了，没写出来）

为什么要整这个嘞

光照渲染中多处涉及重积分，最终结果是要求取一个近似值，因而需要对其值进行数值估计，Monte Carlo方法就是一个较为理想的方案。

其实我们的光线追踪器不仅用了很多向量运算，还用了很多数值分析的知识，比如之前的背景用的是最简单的插值，柏林噪声纹理用的是三线性插值等

ready

你需要对以下知识有了解：

二重定积分

概率密度函数

反函数

Chapter 2：One Dimensional MC Integration

积分是用来求取面积或者体积的东东，常见形式为：I=∫x² dx

假设积分区间为0->2,我们用计算机符号表示为I = area(x²,0,2)

那么我们来模拟以下这个积分

我们先来看一个普通的：

那么，我们就可以写代码了（程序2-1）

void MC_integration(double(*f)(double x), double low, double high)
{
    size_t all = ;
    double sum{  };
    for (int i = ; i < all; ++i)
    {
        double x = (high - low) * rand01() + low;
        sum += x*x;
    }
    stds cout << "I = " << (high - low) * sum / all << stds endl;
}

int main()
{
    MC_integration([](double x) {return x*x; }, , );
}

正如我们所期望的，但上述方法也可以计算那些我们用解析法无法解决的积分，如被积函数为log（sin（x）。

在图形学中，我们经常有一些我们可以评估但不能明确写下来的函数，或者我们只能概率评估的函数。 事实上，前面两本书的光线追踪代码中的lerp函数，其实我们不知道在每个方向上看到的是什么颜色，但我们可以在任何给定的维度上统计估算它。

我 又想起来上本书刚刚写过的区域光照渲染图片，里面的黑色噪点真的把好精美的Cornell box 盒子给糟蹋了，那时因为我们对所有的东西做了统一的采样，而没有对光源进行足够的光源采样，所以我们可以对光源进行更多的随机采样，但是我们又需要控制这个比重，以防止过采样的发生，所以，如何控制这个比例，已达到更好的效果，这就需要引入一个非常重要的概念——重要性采样

但是在讲重要性采样之前，我们需要了解一些关于概率密度函数的东东

　　

先看书上这张图

如果我们添加更多的tree，那么这张图的长条将会增高（变长），因为他们的数量更多了，如果Height轴细分为更多的小块，那么，每个长条的高度会降低（变短）。

离散密度函数与直方图的不同之处在于它将频率y轴归一化为分数或百分比。

而连续直方图中，我们将Height轴细分为无数个小块，那么，纵轴将不会是一个分数，因为所有小格对应的长条基本没有高度（每个小格代表的树高区间基本只有一棵树或者没有树，出现频率几乎为0）

所以对于密度函数，我们调整小格对应的影响因素，使得我们添加更多的小格时，长条不会太低

对于上述条形图，我们采取如下：

小格的高 = 树高介于H~H'的比例 / (H - H')

它将是很有用的！ 我们可以将其解释为树高的统计预测器：

即：一个介于H~H'的随机树高的概率 = 小格的高 * (H - H')

如果我们需要知道多个小格对应的概率，那么加和即可

其实上述公式就构成了概率密度函数，即，面积代表着对应横坐标区间的概率，也就是上面的第二个公式

而概率密度函数就是一种连续的分数直方图，简称为pdf(probability density function)

让我们来整一个pdf，或许会有更深入的理解。如果我想要一个0~2的随机数r它的出现概率和r自己成比例，我们将期望pdf为如下图像：

r位于（x0,x1）的概率为C*area(p(r),x0,x1),其中C为常量,为了简便，C一般取1

而area(p(r),0,2) = 1（概率密度函数的总面积就是总概率）

因为p(r)和r成比例，所以，设另一个常量C',则p(r) = C'r

故我们解积分：

1 = ∫_0->2 C'r dr = C'r²/2|_0->2 = 2C' =>C' = 1/2  公式2-1

所以 p(r) = r/2

我们如何用pdf p(r)生成一个随机数？为此我们需要更多的机器。不要担心这不会永远持续下去！（不会像上一篇最后那个程序，永无止境。。）

给一个随机数d = rand01(),我们知道我们写的rand01()产生的随机数对于0~1的每个浮点数的概率都是均匀一致的，我们需要找个函数f(d)得到我们想要的。假定e = f(d) = d²,这次将不再是一个均匀一致的pdf了，以前是的，之后我们讲（把此处记为pos1遗留问题）

我们为了观察这个函数还需要累积概率分布函数Cpdf(Cumulative probability distribution function)

记为P(x),则P(x) = area(p,-inf,x),几何意义就是从负无穷到x的累积概率和，也就是x左边部分的积分形成的面积

而且我们规定在没有定义的定义域内p(x) = 0,若采用pdf函数p(r) = r/2，那么，P(x)如下：

P(x) = 0,　　x < 0

P(x) = x²/4, 0 < x < 2

P(x) = 1,　　x > 2

当x∈（0,2）,P(x) = ∫_0->x p(r) dr = ∫_0->x r/2 dr = x²/4

那么，x和r是什么关系？其实就是两个虚拟变量，类似于程序中的参数，如果我们把x调整为有效区间的中点，那么

P(1.0) = 1/4

这就是说基于我们的pdf概率密度函数p(r) = r/2的设定下产生一个小于1的随机数的概率为25%

这产生了一种巧妙的观察结果，这种观察结果是产生非均匀随机数的许多方法的基础。

我们想要一个函数f（），它满足：

当我们调用f（drand48（））时，我们得到一个基于设定的Cpdf（x²/4）的一个返回值。 我们不知道那是什么，但我们知道当x为25％时应该小于1，而参数为75％应该高于1。 如果f（）为增函数，那么我们期望f（0.25）= 1.0。

上面说了一堆，意思就是x和r无非就是函数参数，即P(1.0) = 0.25的时候，我们同样想得到一个函数f()，它满足f(0.25)=1.0

即：根据Cpdf得知随机数小于1.0的概率为0.25，而存在一个f()，使得以0.25为参数的时候能够得到那个1.0（即累积概率分布函数右端的边界线）

这可以推广到每个可能的输入

即：f(P(x)) = x

也就是说f(x) = P^-1(x)

也就是P(x)的反函数。对于我们的目的而言，上述的意思就是：如果我们有了pdf函数p()和对应的Cpdf函数P(),我们为f()输入一个随机数，那么它就会给出我们想要的：

e = P^-1(rand01())

对于我们的pdf函数p(x) = x/2，以及对应的P(x),我们需要计算P^-1

即：如果我们有 y = x²/4

那么，x = sqrt(4y)

因此基于pdf,我们输入随机数，得到的就是

e = sqrt(4*rand01())

那么e∈（0,2），正如我们所期望的，我们输入一个0.25，它就返回一个1.0

到了这里，其实上面重复了很多废话，上面一大堆，表面上干了一个什么事情呢，用一个0~1的随机数映射0~2这个积分区间

我们想一下我们要做的是什么，模拟x的二次方曲线的积分，我们要用随机数模拟随机选取积分区间的值，而我们的积分区间就是0~2，

但是没必要这么麻烦啊，0~1随机数随机模拟0~2取值，直接2 * rand01()不就完啦，也就是程序2-1

不不不，它们有着天差地别，我们上述一顿操作是为了引入一个概念——Important Sample

我们通过设置pdf使得，对于积分区间的自变量取值有了权重比例，也就是说有些地方的采样要多一点，有些地方要少一点。

也就是：I = 1/n * Σ(F(x_i)/pdf(x_i))

由此可知，每个积分采样 I_i = 采样高度（函数值）/该采样点占的权重，所有的积分采样取均值，实现了不同采样点为整个积分做的贡献是不同的

constexpr double pdf(const double x) {return 0.5 * x; }

void pdf1()
{
    size_t all{  };
    double sum{ . };
    for (int i = ; i < all; ++i)
    {
        double x = sqrt( * rand01());
        sum += x*x / pdf(x);
    }
    stds cout << "I = " << sum / all << stds endl;
}

我们来解释pos1处的遗留问题

之前的程序2-1所指的积分方案中，是均匀一致采样，即对于任意采样点同等对待

即,设p(x) = C

则公式2-1 写为

1 = ∫_0->2 C dr = Cr|_0->2 = 2C =>C = 1/2

即，开篇的方法中的pdf函数为p(x) = 1/2

所以程序2-1可以改写为：

constexpr double pdf(const double x) {return 0.5; }

void pdf1()
{
    size_t all{  };
    double sum{ . };
    for (int i = ; i < all; ++i)
    {
        double x =  * rand01();
        sum += x*x / pdf(x);
    }
    stds cout << "I = " << sum / all << stds endl;
}

在important sample中我们觉得函数峰高的部分对于整个积分的贡献更多，低峰对于积分贡献不大，所以我们对于x²积分函数采取的pdf函数为x/2

其实，pdf应该采取的就是积分函数本身，在知道答案的情况下，我们采取如下pdf函数最佳：

p(x) = (3/8)x²

则P(x) = x³/8

P^-1(x) = pow(8x,1/3)

则函数为：

constexpr double pdf(const double x) { return  * x * x / ; }

void pdf1()
{
    size_t all{  };
    double sum{ . };
    for (int i = ; i < all; ++i)
    {
        double x = pow( * rand01(), . / );
        sum += x*x / pdf(x);
    }
    stds cout << "I = " << sum / all << stds endl;
}

至此，所有的内容都已经阐述完毕

我们回顾一下，因为这个是光线追踪蒙特卡罗中的大部分概念

1. 你有一个被积函数f(x)的积分域【a,b】

2. 在域【a,b】中选择一个非零的pdf函数p()

3. 对所有的积分采样I_i = f(r)/p(r)取平均，pdf函数p()，随机数r

这总是会收敛到正确答案，p越接近f，收敛越快

感谢您的阅读，生活愉快~