KMP算法 详解+模板

本文大部分摘自szy学长的ppt《string》中的KMP部分。

%%%膜拜szy大神orz

1.概述

KMP 算法是用来解决单模匹配问题的一种算法。

如果暴力的进行单模匹配，那么时间复杂度为O(nm)。

KMP 算法通过对模式串的预处理优化了复杂度。

2.求next数组

为了叙述方便，设模式串长度为n，主串长度为m。

将模式串称为s1，主串称为s2，下标从1 开始。

我们首先对模式串预处理出一个next 数组。

next[i] 表示最大的x，满足s1[1 : x - 1] 是s1[1 : i - 1] 的后缀。

这个数组记录了失配时，模式串指针移动的目标位置。

求next[i] 时，考虑维护一个位置j，初始时为next[i - 1]。

如果s1[j] = s1[i -1]，那么next[i] 显然等于j + 1。

如果s1[j] != s1[i - 1]，那么此时需要将j 向前移动到next[j] 的位置。

一直将j 移动到next[j] 的位置，直到j = 0 或s1[j] = s1[i - 1]。

此时next[i] 等于j + 1。

由于next 是最长公共前后缀，因此在j 的移动过程中一定会经过next[i] - 1 的位置。

 void getnx()
 {
     nx[]=;
     for(int i=,j=;i<=n;)
     {
         nx[i]=j;
         while(j&&s1[j]!=s1[i])j=nx[j];
         j++,i++;
     }
 }

3.匹配

在匹配过程中，设在主串中匹配到位置i，模式串中匹配到位置j。

首先如果s2[i] = s1[j]，当前位置匹配成功，此时可以把i 和j 同时移动到下一个位置。

否则发生失配，需要进行调整，我们将j 置为next[j]，然后继续匹配。

同样由于next 是最长公共前后缀，因此在j 的移动过程中不会跳过可能匹配的位置。

并且模式串中j 之前的部分一定可以匹配。

void kmp()
{
    for(int i=,j=;i<=m;)
    {
        while(j&&s1[j]!=s2[i])j=nx[j];
        if(j==n)
        {
            // 此时找到了一个能够匹配的位置
            j=nx[j];
        }
        else j++,i++;
    }
}

可以发现两部分代码有很大相似之处。

其实可以把求next 数组过程看做用模式串与自身匹配的过程。

4.时间复杂度

在求next 的过程中，j 指针每向后移动一步，i 指针就会向后移动一步。

而j 指针每延next 移动一次，就会向前移动大于等于一步。

由于i 指针会向后移动O(n) 次，因此j 指针也只会向后移动O(n) 次，因此向前同样最多移动O(n) 次。

因此求next 数组部分复杂度为O(n)。

与之类似，可以得出匹配过程的复杂度为O(m)。

因此KMP 算法的总复杂度为O(n + m)。

尾声：

总之，KMP算法是处理字符串匹配问题的一大利器。

搭配字符串上的DP可以说是......咳咳......很有趣......

（下篇高能预告）