题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树,其叶节点表示一个物种,两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在,一个重要的问题是,根据物种之间的距离,重构相应的“进化树”。

令N={1..n},用一个N上的矩阵M来定义树T。其中,矩阵M满足:对于任意的i,j,k,有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足:

1.叶节点属于集合N;

2.边权均为非负整数;

3.dT(i,j)=M[i,j],其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图,矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M,它所能表示树的重量是惟一确定的,不可能找到两棵不同重量的树,它们都符合矩阵M。你的任务就是,根据给出的矩阵M,计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树,这棵树的总重量为15。

输入输出格式

输入格式:

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-l行,给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线),矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

输出格式:

对于每组输入,输出一行,一个整数,表示树的重量。

输入输出样例

输入样例#1:

5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0
输出样例#1:

15
71

题解

这道题用了构造的思想。想了很久想不出来,看了题解恍然大悟。

首先如果只有两个点,那么原树就是两个点用他们之间长度的边连起来。【这个很好想到吧】

这个时候我们多了一个点,试想这个点放在哪?
原来的两点已经满足了条件,我们可以不用考虑,我们尝试从两点之间的路径上分出一个分支来插入第三个节点,如图所示:

很容易这样一来,新插入的边长就为(d[1][3] + d[2][3] - d[1][2]) / 2

第四个点呢?
那我们就尝试插入1,3之间,2,3之间1,2之间

对于第i个点就枚举前i-1个点,尝试插入两两之间,选择最小的方案作为最后的答案
就搞完啦~
代码异常的短。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 35,maxm = 100005,INF = 2000000000; int d[maxn][maxn]; int main(){
int n,ans,t;
while (~scanf("%d",&n) && n){
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
scanf("%d",&d[i][j]);
ans = d[1][2];
for (int i = 3; i <= n; i++){
t = INF;
for (int j = 1; j < i; j++)
for (int k = j + 1; k < i; k++){
t = min(t,(d[j][i] + d[k][i] - d[j][k]) / 2);
}
ans += t;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

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