UVA 11542 高斯消元

从数组中选择几个数，要求他们的乘积可以开平方，问有多少种方案。

先将单个数拆分成质因子，对于这个数而言，那些指数为奇数的质因子会使这个数无法被开平方。

所以我们需要选择一个对应质因子指数为奇数的元素，将他们两个放在一个方案中，但是又有可能会引入其他的质因子。

这样就变成了求解行列式中自由变元的数量问题。

将数组转换成行列式，利用高斯消元求解。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
bool pri[];
int a[][];
int max_;
int t, n;
long long x;
vector<int>V;
 
void Prime(){
    memset(pri,,sizeof(pri));
    pri[] = pri[] = ;
    for(int i=;i<;i++)if(pri[i]){
        V.push_back(i);//对素数离散一下 优化一下
        for(int j=i<<;j<;j+=i)
            pri[i] = ;
    }
}
void init(){
    memset(a,,sizeof(a));
    max_ = ;
}
int gauss(){// 高斯消元
    int i = , j = ;
    while(i<=max_ && j<n){
        int k = i;
        for(;k<=max_;k++)
            if(a[k][j])break;
        if(k != max_ + ){
            for(int l=;l<n;l++){
                // 第j个等式的 k位上为 1
                // 将第 k 行与第 i 行 进行 行交换
                swap(a[i][l],a[k][l]);
            }
            for(int k=i+;k<=max_;k++){
                if(a[k][j]){
                    for(int l=j;l<n;l++)
                        a[k][l] ^= a[i][l];// 这里是优化后的式子
                }
            }
            i++;
        }
        j++;
    }
    return n-i;
}
int main(){
    Prime();
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        init();
        scanf("%d",&n);
        for(int i=;i<n;i++){
            scanf("%lld",&x);
            for(int j=;j<V.size() && V[j]<= x;j++){
                while(x%V[j] == ){
                    a[j][i] ^= ;
                    // 若 质因子的指数为偶数 则行列式对应位上为 0
                    //    奇数 为 1
                    max_ = max(max_, j);
                    // 记录一下最大值， 优化
                    x /= V[j];
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",(1ll<<gauss())-);
    }
    return ;
}