Manacher算法——求最长回文子串

首先，得先了解什么是回文串。回文串就是正反读起来就是一样的，如“abcdcba”。我们要是直接采用暴力方法来查找最长回文子串，时间复杂度为O（n^3）,好一点的方法是枚举每一个字符，比较较它左右距离相邻的点是否相等，我们姑且称之为中心检测法，时间复杂度为O（n^2）。

当我们遇到字符串为“aaaaaaaaa”，之前的算法就会发生各个回文相互重叠的情况，会产生重复计算，然后就产生了一个问题，能否改进？答案是能，1975年，一个叫Manacher发明了Manacher Algorithm算法，俗称马拉车算法，其时间复杂为O(n)。该算法是利用回文串的特性来避免重复计算的。

在中心检测法中，我们在遍历的过程要考虑到回文串长度的奇偶性，比如说“abba”的长度为偶数，“abcba”的长度为奇数，这样在寻找最长回文子串的过程要分别考奇偶的情况，是否可以统一处理了？

Manacher算法：

一）第一步是改造字符串S，变为T，其改造的方法如下：

在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”，如：S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4，而T的长度为9，长度变为奇数了！！那S的长度为奇数的情况时，变化后的长度还是奇数吗？我们举个例子，S=“abcba”，变化为T=“#a#b#c#b#a#”，T的长度为11，所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数，这样就可以统一的处理奇偶的情况了。

二）第二步，为了改进回文相互重叠的情况，我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中，P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径，表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度，如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ]，那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ]，取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i  ]本身。举一个简单的例子感受一下：

数组P有一性质，P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ，那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度，至于证明，首先在转换得到的字符串T中，所有的回文字串的长度都为奇数，那么对于以T[i]为中心的最长回文字串，其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知，T中所有的回文子串，其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1，也就是有P[i]个分隔符，剩下P[i]-1个字符来自原字符串，所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。

另外，由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，我们还需要在首尾再加上非#号字符，实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符，我就直接使用美元吧$,结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0'，等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。

三）如何求数组P [ ]

从左往右计算数组P[ ]， Mi为之前取得最大回文串的中心位置，而R是最大回文串能到达的最右端的值。

1）当 i <=R时，如何计算 P[ i ]的值了？毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性，我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ，其值为 j= 2*Mi-i 。因，点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内（[L ,R]），

a）那么如果P[j] <R-i （同样是L和j 之间的距离），说明，以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R]，由回文串的特性可知，从左右两端向Mi遍历，两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ]（这里得先从点j转到点i 的情况），如下图：

b)如果P[ j ]>=R-i （即 j 为中心的回文串的最左端超过 L），如下图所示。即，以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ，这种情况，等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗？显然不总是成立的！因，以点 j 为中心的回文串的最左端超过L，那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的，由回文串的特性可知，P[ i ] 至少等于R- i，至于是否大于R-i（图中红色的部分），我们还要从R+1开始一一的匹配，直达失配为止，从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。

2）当 i > R时，如下图。这种情况，没法利用到回文串的特性，只能老老实实的一步步去匹配。

总体看来，Manacher可以看出是中心检测法的一种优化，我们会发现如果把这一行代码删除

        if(i<mx)
        {
            p[i]=min(p[*id-i],mx-i);
        }
        else
        {
            p[i]=;
        }

程序也是可以运行的，但这样是不是又变成了中心检测法了？我认为Manacher算法的最大优点在于利用回文串对称的性质，在处理p数组的时候，利用指针i,j的同步性，避免了匹配失败后的下标回退，因而将时间复杂度优化为了O(n)。

相应的代码如下：

 char x[MAX];
 char s_new[MAX*];
 int p[MAX*];
 int Init()
 {
     int i,j,len;
     len=strlen(x);
     s_new[]='$';
     s_new[]='#';
     j=;
     for(i=; i<len; i++)
     {
         s_new[j++]=x[i];
         s_new[j++]='#';
     }
     s_new[j]='\0';
     return j;
 }
 int Manacher()
 {
     int i;
     int len=Init();
     int max_len=-;
     int id;
     int mx=;
     for (i=; i<len; i++)
     {
         if(i<mx)
         {
             p[i]=min(p[*id-i],mx-i);
         }
         else
         {
             p[i]=;
         }
         while (s_new[i-p[i]]==s_new[i+p[i]])
         {
             p[i]++;
         }
         if(mx<i+p[i])
         {
             id=i;
             mx=i+p[i];
         }
     }
     for(i=; i<len; i++)
     {
         if(max_len<p[i]-)
         {
             max_len=p[i]-;
         }
     }
     return max_len;
 }