LOJ#3085. 「GXOI / GZOI2019」特技飞行（KDtree+坐标系变换）

题面

传送门

前置芝士

请确定您会曼哈顿距离和切比雪夫距离之间的转换，以及\(KDtree\)对切比雪夫距离的操作

题解

我们发现\(AB\)和\(C\)没有任何关系，所以关于\(C\)可以直接暴力数点

关于暴力数点，这个曼哈顿距离很麻烦，先把它转成切比雪夫距离，然后就是一个\(KDtree\)的经典操作了

容易发现交换操作的执行次数上界是\(tot\)（其中\(tot\)是交点个数），下界是\(n-cnt\)（其中\(cnt\)是原数组和飞过去之后的数组形成的一个置换，其中的轮换个数）

证明的话……上界应该是很好证明的，以样例那张图为例，红色的是一号的路线，不难发现它的路线肯定是一个类似于上凸壳的东西，也就是说它飞到右边之后绝对只会在最上面。然后把这一条东西删除，二号飞机的路线肯定是剩下来的上凸壳，也会在最上面……最后肯定保持相对顺序不变

下界的话，不同的置换之间是互不影响的，而设置换大小为\(k\)，那么这里所需的最小交换次数为\(k-1\)，所以总的次数为\(\sum (k-1)=n-cnt\)

关于为啥这里最小交换次数为\(k-1\)……因为它每一个交点都代表了一个逆序对，而交点里涵盖了所有的逆序对，所以交换逆序对的次数下界应该是\(k-1\)

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=5e5+5;const double eps=1e-8;
inline double max(R double x,R double y){return x>y?x:y;}
inline double fabs(R double x){return x<-eps?-x:x;}
struct Point{
	double p[2];
	inline Point(){}
	inline Point(R double xx,R double yy){p[0]=xx,p[1]=yy;}
}poi[N];
struct node;typedef node* ptr;
struct node{
	ptr lc,rc;double mn[2],mx[2];Point p;bool flag,ok;
	inline node();
	inline void init(R Point pp){
		p=pp;
		mn[0]=mx[0]=pp.p[0],mn[1]=mx[1]=pp.p[1];
	}
	inline double mndis(R int x,R int y){
		return max(max(fabs(x-mn[0]),fabs(x-mx[0])),max(fabs(y-mn[1]),fabs(y-mx[1])));
	}
	inline double dis(R int x,R int y){return max(fabs(x-p.p[0]),fabs(y-p.p[1]));}
}e[N],*rt;
inline node::node(){lc=rc=e,mn[0]=mn[1]=inf,mx[0]=mx[1]=-inf;}
void upd(ptr p,ptr s){
	cmin(p->mn[0],s->mn[0]),cmin(p->mn[1],s->mn[1]);
	cmax(p->mx[0],s->mx[0]),cmax(p->mx[1],s->mx[1]);
}
int WD,tot;
inline bool operator <(const Point &a,const Point &b){return a.p[WD]<b.p[WD];}
void build(ptr &p,int l,int r,int wd){
	int mid=(l+r)>>1;p=(e+mid),WD=wd;
	nth_element(poi+l,poi+mid,poi+r+1);
	p->init(poi[mid]);
	if(l<mid)build(p->lc,l,mid-1,wd^1),upd(p,p->lc);
	if(mid<r)build(p->rc,mid+1,r,wd^1),upd(p,p->rc);
}
void update(ptr p,int x,int y,int d){
	if(p==e||p->flag||x+d<p->mn[0]||x-d>p->mx[0]||y+d<p->mn[1]||y-d>p->mx[1])return;
	if(p->mndis(x,y)-eps<=d)return p->flag=1,void();
	if(!p->ok&&p->dis(x,y)-eps<=d)p->ok=1;
	update(p->lc,x,y,d),update(p->rc,x,y,d);
}
int push(ptr p){
	if(p->flag){
		p->ok=1;
		if(p->lc!=e)p->lc->flag=1,p->lc->ok=1;
		if(p->rc!=e)p->rc->flag=1,p->rc->ok=1;
	}
	int res=p->ok;
	if(p->lc!=e)res+=push(p->lc);
	if(p->rc!=e)res+=push(p->rc);
	return res;
}
int n,m,A,B,C,s,t,y[N],yy[N],id[N];double k[N],b[N],iv;
ll ans1,ans2,ans;bool vis[N];
set<pair<int,int> > si;
set<pair<int,int> >::iterator it;
inline bool cmp(const int &x,const int &y){return yy[x]<yy[y];}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),A=read(),B=read(),C=read(),s=read(),t=read(),iv=1.0/(t-s);
	fp(i,1,n)y[i]=read();fp(i,1,n)yy[i]=read();
	fp(i,1,n)k[i]=(yy[i]-y[i])*iv,b[i]=y[i]-k[i]*s;
	fd(i,n,1){
		for(it=si.begin();it!=si.end()&&it->first<yy[i];++it){
			R int j=it->second;
			double tx=(b[j]-b[i])/(k[i]-k[j]);
			double ty=k[i]*tx+b[i];
			double x=tx+ty,y=tx-ty;
			poi[++tot]=Point(x,y);
		}
		si.insert(make_pair(yy[i],i));
	}
	build(rt,1,tot,0);
	m=read();
	for(R int x,y,dx,dy,d;m;--m){
		dx=read(),dy=read(),d=read(),
		x=dx+dy,y=dx-dy;
		update(rt,x,y,d);
	}
	ans=push(rt)*C,ans1=ans+tot*A;
	fp(i,1,n)id[i]=i;
	sort(id+1,id+1+n,cmp);
	int res=0;
	fp(i,1,n)if(!vis[i]){
		++res;
		for(R int j=i;!vis[j];j=id[j])vis[j]=1;
	}
	ans2=ans+(n-res)*A+(tot-n+res)*B;
	if(ans1>ans2)swap(ans1,ans2);
	printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
	return 0;
}