一类划分关系和指数级生成函数，多项式exp的关系

划分关系

姑且这么叫着
设满足性质 \(A\) 的集合为 \(S_A\)，每个元素有标号
如果 \(S_B\) 是由若干个 \(S_A\) 组成的一个大集合
设 \(a_i\) 表示大小为 \(i\) 的 \(S_A\) 的个数
设 \(b_i\) 表示大小为 \(i\) 的 \(S_B\) 的个数
构造指数级生成函数
\[A(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i\frac{x^i}{i!}\]
\[B(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b_i\frac{x^i}{i!}\]
\(A\) 和 \(B\) 有如下关系
\(e^{A(x)}=B(x)\)
考虑枚举 \(S_B\) 可以分成几个 \(S_A\)，因为是有序的，那么
\[B(x)=\sum_i\frac{A^i(x)}{i!}=e^{A(x)}\]

一些例子

1

设 \(f_i\) 表示不要求连通的 \(i\) 个点 的 \(DAG\) 的方案数
设 \(g_i\) 表示连通的 \(i\) 个点 的 \(DAG\) 的方案数
构造指数级生成函数
\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_i\frac{x^i}{i!}\]
\[G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}g_i\frac{x^i}{i!}\]
那么
\[F(x)=e^{G(x)},G(x)=ln F(x)\]

2

设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点 的简单无向连通图的方案数
简单无向图的指数级生成函数
\[G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}2^{\binom{i}{2}}\frac{x^i}{i!}\]
简单无向连通图的指数级生成函数
\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_i\frac{x^i}{i!}\]
\[G(x)=e^{F(x)}, F(x)=ln G(x)\]