最短路径：（Dijkstra & Floyd）

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

3.算法代码实现：

const int  MAXINT = 32767;

const int MAXNUM = 10;

int dist[MAXNUM];

int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)

{

  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中

      int n=MAXNUM;

  　　for(int i=1; i<=n; ++i)

 　　 {

      　　dist[i] = A[v0][i];

      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点

      　　if(dist[i] == MAXINT)

            　　prev[i] = -1;

 　　     else

            　　prev[i] = v0;

   　　}

   　 dist[v0] = 0;

   　 S[v0] = true; 　　

 　　 for(int i=2; i<=n; i++)

 　　 {

       　　int mindist = MAXINT;

       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值

      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)

      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)

      　　    {

         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码

         　 　      mindist = dist[j];

       　　   }

       　　S[u] = true;

       　　for(int j=1; j<=n; j++)

       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)

       　　    {

           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径

           　    　{

                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist

                   　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点

            　　    }

        　    　}

   　　}

}

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j)
= Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

3.算法代码实现

typedef struct

{

    char vertex[VertexNum];                                //顶点表

    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表

    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数

}MGraph; 

void Floyd(MGraph g)

{

 　　int A[MAXV][MAXV];

 　　int path[MAXV][MAXV];

 　　int i,j,k,n=g.n;

 　　for(i=0;i<n;i++)

    　　for(j=0;j<n;j++)

    　　{ 　　

             A[i][j]=g.edges[i][j];

         　　 path[i][j]=-1;

     　 }

 　　for(k=0;k<n;k++)

 　　{

      　　for(i=0;i<n;i++)

         　　for(j=0;j<n;j++)

             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))

             　　{

                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];

                   　　path[i][j]=k;

              　 }

    　}

}

弗洛伊德（Floyd）算法过程：

１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。

２、依次扫描每一个点，并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[ ][ ]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。

算法理解：

最短距离有三种情况：

１、两点的直达距离最短。（如下图<v,x>）

２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图<v,u>）

３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图<v,w>）

对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。

对于第二种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中所有的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上只用扫描三次即可，但要加入判断，效率更低）。

对于第三种情况：如下图的五边形，可先找一点（比如x，使<v,u>=2），就变成了四边形问题，再找一点（比如y,使<u,w>=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成第二种情况了，由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找，因为找了任一个点都可以使其变成（n－1）边形的问题）。

#include <stdio.h>

#include <malloc.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#define impass -1

#define MAX 100

typedef struct

{

    int v, e;

    int matrix[MAX][MAX];

}Graph;

typedef struct load//用于存储路径所经过的点 从s到e的最短路径所经过的顶点在vex中

{

        int s, e, len;

        int vex[MAX];

}Path;

void CreatGraph(Graph *G)

{

    int i;

    int s, e,len;

    scanf("%d%d", &G->v, &G->e);

    memset(G->matrix, impass, sizeof(int) * (MAX * MAX));

    for (i = 0; i < G->e; i++)

    {

        scanf("%d%d%d", &s, &e, &len);

        G->matrix[s][e] = len;

    }

}

void Floyd(Graph G)

{

    int Locate(int i, int j, Path path[MAX], int sum);

    Path path[MAX];

    int dis[MAX][MAX];

    //int path[MAX][MAX][MAX];//原本想使用path三维数组存储 path[i][j][k] == 1表示从i到j的最短路径经过k

    int i, j, k, p;

    int pos = 0;

    int pos1, pos2, pos3;

    memset(path, 0, sizeof(int) * (MAX * MAX));

    memset(path, 0, sizeof(int) * (MAX * MAX));

    for (i = 0; i < G.v; i++)//初始化

    {

        for (j = 0; j < G.v; j++)

        {

            dis[i][j] = G.matrix[i][j];

            path[pos].s = i;

            path[pos].e = j;

            if (dis[i][j] != impass)

            {

                path[pos].vex[i] = 1;

                path[pos].vex[j] = 1;

            }

            pos++;

        }

    }

    for (i = 0; i < G.v; i++)

        for (j = 0; j < G.v; j++)

            for (k = 0; k < G.v; k++)

            {

                if (i == j)

                    break;

                if (dis[i][k] != impass && dis[k][j] != impass)

                    if (dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j] || dis[i][j] == impass)//从i到k再到j的路径更短

                    {

                        dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];

                        pos1 = Locate(i, j, path, G.v);

                        pos2 = Locate(i, k, path, G.v);

                        pos3 = Locate(k, j, path, G.v);

                        for (p = 0; p < G.v; p++)

                        {

                            path[pos1].vex[p] = (path[pos2].vex[p] || path[pos3].vex[p]);

                        }

                    }

            }

    for (i = 0; i < G.v; i++)//输出最短路径

        for (j = 0; j < G.v; j++)

        {

            if (i == j)

                continue;

            printf("The ShortPath From %d to %d:\n", i, j);

            if (dis[i][j] == impass)

                printf("No Path\n");

            else

                printf("%d\n", dis[i][j]);

        }

}

int Locate(int i, int j, struct load path[MAX], int sum)

{

    int k;

    for (k = 0; k < sum; k++)

        if (path[k].s == i && path[k].e == j)

            return k;

    return impass;

}

int main()

{

    Graph G;

    CreatGraph(&G);

    Floyd(G);

    return 0;

}

单纯的Dijkstra实现

void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])

　

{

    　　bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中

    　　for(int i=1; i<=n; ++i)

        　　{

            　　dist[i] = c[v][i];

            　　s[i] = 0; // 初始都未用过该点

            　　if(dist[i] == maxint)

                　　prev[i] = 0;

            　　else

                　　prev[i] = v;

        　　

            }

    　　dist[v] = 0;

    　　s[v] = 1;

    　　// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中

    　　// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度

    　　// 注意是从第二个节点开始，第一个为源点

    　　for(int i=2; i<=n; ++i)

        　　{

            　　int tmp = maxint;

            　　int u = v;

            　　// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值

            　　for(int j=1; j<=n; ++j)

                　　if((!s[j])/*unkonw*/ && dist[j]<tmp)

                    　　{

                        　　u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码

                        　　tmp = dist[j];

                        }

            　　s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中

            　　// 更新dist

            　　for(int j=1; j<=n; ++j)//寻找u的邻接，并更亲dist

                　　if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)

                    　　{

                        　　int newdist = dist[u] + c[u][j];

                        　　if(newdist < dist[j])

                            　　{

                                　　dist[j] = newdist;

                                　　prev[j] = u;

                                }

                        }

            }

    　　

}

<<数据结构>>(C语言版严蔚敏 ) 中dijkstra算法的实现

/*

测试数据 教科书 P189 G6 的邻接矩阵 其中 数字 1000000 代表无穷大

6

1000000 1000000 10 100000 30 100

1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000

1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000

1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10

1000000 1000000 1000000 20 1000000 60

1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000

结果：

D[0]   D[1]   D[2]   D[3]   D[4]   D[5]

 0   1000000   10     50     30     60

*/

#include <iostream>

#include <cstdio>

#define MAX 1000000

using namespace std;

int arcs[10][10];//邻接矩阵

int D[10];//保存最短路径长度

int p[10][10];//路径

int final[10];//若final[i] = 1则说明 顶点vi已在集合S中

int n = 0;//顶点个数

int v0 = 0;//源点

int v,w;

void ShortestPath_DIJ()

{

     for (v = 0; v < n; v++) //循环 初始化

     {

          final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v];

          for (w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0;//设空路径

          if (D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;}

     }

     D[v0] = 0; final[v0]=0; //初始化 v0顶点属于集合S

     //开始主循环 每次求得v0到某个顶点v的最短路径 并加v到集合S中

     for (int i = 1; i < n; i++)

     {

          int min = MAX;

          for (w = 0; w < n; w++)

          {

               //我认为的核心过程--选点

               if (!final[w]) //如果w顶点在V-S中

               {

                    //这个过程最终选出的点 应该是选出当前V-S中与S有关联边

                    //且权值最小的顶点 书上描述为 当前离V0最近的点

                    if (D[w] < min) {v = w; min = D[w];}

               }

          }

          final[v] = 1; //选出该点后加入到合集S中

          for (w = 0; w < n; w++)//更新当前最短路径和距离

          {

               /*在此循环中 v为当前刚选入集合S中的点

               则以点V为中间点 考察 d0v+dvw 是否小于 D[w] 如果小于 则更新

               比如加进点 3 则若要考察 D[5] 是否要更新 就 判断 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小于D[5]

               */

               if (!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w]))

               {

                    D[w] = min + arcs[v][w];

                   // p[w] = p[v];

                    p[w][w] = 1; //p[w] = p[v] +　[w]

               }

          }

     }

}

int main()

{

    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++)

    {

         for (int j = 0; j < n; j++)

         {

              cin >> arcs[i][j];

         }

    }

    ShortestPath_DIJ();

    for (int i = 0; i < n; i++) printf("D[%d] = %d\n",i,D[i]);

    return 0;

}

转载来自：华山大师兄，数据结构与算法：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/category/395206.html