bzoj 3657 斐波那契数列(fib.cpp/pas/c/in/out)

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【题目描述】

有n个大于1的正整数a1,a2,…,an，我们知道斐波那契数列的递推式是f(i)=f(i-1)+f(i-2)，现在我们修改这个递推式变为f(i)=f(i-1)+f(i-2)+r(i-1)，其中r(x)为a1,a2,…,an中为x的约数的个数。现在要求f(m) mod 19940417的值。注：初值f(1)=1,f(2)=1

输入格式：

第一行两个数n,m。

接下来一行n个正整数a1,a2,…,an。

输出格式：

输出一行仅一个数，f(m) mod 19940417的值。

样例输入：

3 7

2 2 3

样例输出：

33

数据范围：

30%的数据n<=1000,m<=1000

另外20%的数据 n=0,m<=109

100%的数据n<=100000,m<=109，2<=ai<=109

题解：

　　对于100%的数据，我们可以先考虑把fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2] 的答案先用矩阵快速幂跑出来。然后依次输入ai，来看每个ai对fib[m]的影响，因为fib(i)=fib(i-1)+fib(i-2)+r(i-1)，所以每一个ai，在它k倍(k*ai<=M)的地方的斐波那契值都会产生+1的影响。我们考虑如果对于斐波那契数列的第i项我们对它加一个1并且继续进行后面的递推的话，那么第j项(j>i)的值就是fib[j]+fib[j-i+1]。所以实际上我们可以对于每个ai分别处理，对于ai，它会给最后的答案贡献fib[m mod ai]+fib[ai+(m mod ai)]+…保证[]内的值小于等于m。

　　但如果只是一个一个让答案加上fib[k*ai+(m%ai)]，还是会超时，肯定要用到矩阵快速幂来优化，假设我们让B为表示fib[m%ai]的矩阵，那么f[k*ai+(m%ai)]可以表示为B*A^k*ai，然后解决的就是SUM = (A + A^2 + A^3 + ... + A^B)%C的问题(讲解)。

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int mod=;
 struct mat {
     int a,b,c,d;
 }ZR,E,F,Ans;
 int n,m;
 mat pre[],pw[];
 mat operator*(mat X,mat Y) {
     mat Z;
     Z.a=((LL)X.a*Y.a+(LL)X.b*Y.c)%mod;
     Z.b=((LL)X.a*Y.b+(LL)X.b*Y.d)%mod;
     Z.c=((LL)X.c*Y.a+(LL)X.d*Y.c)%mod;
     Z.d=((LL)X.c*Y.b+(LL)X.d*Y.d)%mod;
     return Z;
 }
 mat operator+(mat X,mat Y) {
     mat Z;
     Z.a=(X.a+Y.a)%mod;
     Z.b=(X.b+Y.b)%mod;
     Z.c=(X.c+Y.c)%mod;
     Z.d=(X.d+Y.d)%mod;
     return Z;
 }
 mat fpm(mat a,int b) {
     mat w=E;
     while(b){
         if(b&) w=w*a;
         a=a*a;
         b>>=;
     }
     return w;
 }
 mat vsum(int n){
     if(n==) return ZR;
     if(n==) return E;
     int m=,t=;
     while(m<=n) m<<=,++t;
     m>>=,--t;
     return pre[t]+pw[t]*vsum(n-m);
 }
 void prepare(mat A){//A矩阵是系数矩阵的ai次方
     for(int i=;i<=;++i){
         if(i==) pw[i]=A;
         else pw[i]=pw[i-]*pw[i-];
         if(i==) pre[i]=E;//单位矩阵
         else pre[i]=pre[i-]*(E+pw[i-]);
     }
 }
 mat solve(int d) {
     if(d>=m) return ZR;
     int k=(m-)/d;
     prepare(fpm(F,d));
     return fpm(F,m--k*d)*vsum(k);
 }
 int main() {
 //    freopen("fib.in" , "r", stdin);
 //    freopen("fib.out", "w", stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     if(m<=){
         printf("1\n");
         return ;
     }
     E.a=E.d=;
     F.a=F.b=F.c=;
     Ans=Ans+fpm(F,m-);//先算出纯 fib序列 
 
     for(int i=;i<=n;++i){//
         int x;
         scanf("%d",&x);
         Ans=Ans+solve(x);
     }
     printf("%d\n",Ans.a);
 }