POJ 1015 Jury Compromise （完全背包）

题目大意：

在遥远的国家佛罗布尼亚，嫌犯是否有罪，须由陪审团决定。陪审团是由法官从公众中挑选的。先随机挑选n 个人作为陪审团的候选人，然后再从这n 个人中选m 人组成陪审团。选m 人的办法是：控方和辩方会根据对候选人的喜欢程度，给所有候选人打分，分值从0 到20。为了公平起见，法官选出陪审团的原则是：选出的m 个人，必须满足辩方总分D和控方总分P的差的绝对值|D-P|最小。如果有多种选择方案的 |D-P| 值相同，那么选辩控双方总分之和D+P最大的方案即可。

输出：

选取符合条件的最优m个候选人后，要求输出这m个人的辩方总值D和控方总值P，并升序输出他们的编号。

——https://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6671105 （然而这个“标程”是有BUG的）

前言：

这个题，网上流传的绝大多数都是错的解法，之所以能流传，因为poj上的数据输出也是错误的。导致真正正确的程序因为WA不止而被埋没。

随后在discuss里终于出现了CZDleaf等神犇，找出了bug并且出了hack数据并且给出了真正的标程。

https://blog.csdn.net/glqac/article/details/22687243 http://poj.org/showmessage?message_id=161937

分析：

考虑到每个候选人只有选或者不选两种情况，而且之前不是最优解的人可能之后也要被选上。所以做法是0/1背包。

设f[j][k]表示选了j个人，差值为k的D+P的最大值。

状态转移方程：\(f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][k-(p[i]-d[i])]+p[i]+d[i])\)

最初 \(f[0][0]=0\) ,其余为 -1或者 -0x3f3f3f3f 由于可能会使下标变成负数，所以增加一个修正值 fix=20*m （因为差值最多为20*m，令fix映射0，使映射区间向右平移fix个单位长度）

错误方法：

外层循环j：1~m；

中层循环k: 0~2*fix；

内层循环i：1~n

每次尝试更新的时候，检查一下之前路径中是否已经有了i，没用过就继续更新，否则conitnue. 这样可以避免路径改变的问题，每一次更新，令 \(pre[j][k]=i\)即可。最后的时候，从\(f[m][fix]\)向两边找到第一个值不为-1的k即为差值。（此处省略若干字）

错误的原因： bug之处在于：如果在选择j之前，选择1~j-1的f[j-1]i最优方案不止一个，即使得f[j-1]最大化的路径不止有一条，那么可能的情况是，编号较小的路径组合会覆盖、掩盖之后的路径组合（它只能记录一条），而正确的答案却是从后面的路径转移过来的。换句话说，我们在更新的时候，有可能抛弃了正确答案的转移路径。从而选择j时的正解可能会因为之前选过而被pass掉。

无法保证最优子结构条件。

正解：

外层循环i：1~n

中层倒序循环j：m~1;

内层循环k:0~2*fix；

这样，因为避免了重复选择判断的一项，而且由于i的顺序循环，前面即使出现重复的路径，也不会对之后的答案造成影响，而且避免了最后的sort麻烦。

至于路径转移：（被卡了）博客上给的是用vector直接复制之前的路径进行转移。这样，即使f[1~m-1][k]的路径变化了，也不会影响到决策的输出。（f[m][k]的路径是孤立的存在，不用递推往前找，从而避免了麻烦。）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int f[25][805]; // 前i个人，选了j个，辩方总分与控方总分的差为k=-400~400（平移到0~800）
int d[205][25][805]; // 记路径还是要三维，不然后面的更新可能会覆盖掉之前的记录
int n, m, a[205], b[205], suma, sumb, T;
vector<int> c;
void get_path(int i, int j, int k) {
	if (j == 0) return;
	int last = d[i][j][k];
	get_path(last - 1, j - 1, k - (a[last] - b[last]));
	c.push_back(last);
	suma += a[last], sumb += b[last];
}
int main() {
	while (cin >> n >> m && n) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
		memset(f, 0xcf, sizeof(f)); // -INF
		f[0][400] = 0; // f[0][0]第三维平移400
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 0; j <= m; j++) // 不选i
				for (int k = 0; k <= 800; k++) d[i][j][k] = d[i - 1][j][k];
			for (int j = m; j; j--) // 选i
				for (int k = 0; k <= 800; k++) {
					if (k - (a[i] - b[i]) < 0 || k - (a[i] - b[i]) > 800) continue; // 超出范围
					if (f[j][k] < f[j - 1][k - (a[i] - b[i])] + a[i] + b[i]) {
						f[j][k] = f[j - 1][k - (a[i] - b[i])] + a[i] + b[i];
						d[i][j][k] = i;
					}
				}
		}
		int ans = 0;
		for (int k = 0; k <= 400; k++) {
			if (f[m][400 + k] >= 0 && f[m][400 + k] >= f[m][400 - k]) {
				ans = k + 400;
				break;
			}
			if (f[m][400 - k] >= 0) {
				ans = 400 - k;
				break;
			}
		}
		c.clear();
		suma = sumb = 0;
		get_path(n, m, ans);
		printf("Jury #%d\n", ++T);
		printf("Best jury has value %d for prosecution and value %d for defence:\n", suma, sumb);
		for (int i = 0; i < c.size(); i++) printf(" %d", c[i]);
		printf("\n\n");
	}
}