NC20477 [ZJOI2008]树的统计COUNT
题目
题目描述
一棵树上有n个节点,编号分别为1到n,每个节点都有一个权值w。
我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成 一些操作:
I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t
II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和
注意:从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身
输入描述
输入的第一行为一个整数n,表示节点的个数。
接下来n – 1行,每行2个整数a和b,表示节点a和节点b之间有 一条边相连。
接下来n行,每行一个整数,第i行的整数wi表示节点i的权值。
接下来1行,为一个整数q,表示操作的总数。
接下来q行,每行一个操作,以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100%的数据,保证1 ≤ n ≤ 30000,0 ≤ q ≤ 200000;中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。
输出描述
对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作,每行输出一个整数表示要求输出的结果。
示例1
输入
4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4
输出
4
1
2
2
10
6
5
6
5
16
题解
知识点:树链剖分,线段树。
这是一道树剖的板题,只需要最基本的查询修改即可。
通常树剖是对点维护,按链处理线段树。每次跳到下一条链的起点,维护整段链。
时间复杂度 \(O(n \log n + q\log ^2n)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
struct HLD {
vector<int> siz, dep, fat, son, top, dfn, L, R;
HLD() {}
HLD(int rt, const vector<vector<int>> &g) { init(rt, g); }
void init(int rt, const vector<vector<int>> &g) {
assert(g.size());
int n = g.size() - 1;
siz.assign(n + 1, 0);
dep.assign(n + 1, 0);
fat.assign(n + 1, 0);
son.assign(n + 1, 0);
top.assign(n + 1, 0);
dfn.assign(n + 1, 0);
L.assign(n + 1, 0);
R.assign(n + 1, 0);
function<void(int, int)> dfsA = [&](int u, int fa) {
siz[u] = 1;
dep[u] = dep[fa] + 1;
fat[u] = fa;
for (auto &v : g[u]) {
if (v == fa) continue;
dfsA(v, u);
siz[u] += siz[v];
if (siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
}
};
dfsA(rt, 0);
int dfncnt = 0;
function<void(int, int)> dfsB = [&](int u, int tp) {
top[u] = tp;
dfn[++dfncnt] = u;
L[u] = dfncnt;
if (son[u]) dfsB(son[u], tp);
for (auto v : g[u]) {
if (v == fat[u] || v == son[u]) continue;
dfsB(v, v);
}
R[u] = dfncnt;
};
dfsB(rt, rt);
}
};
template<class T, class F>
struct SegmentTree {
int n;
vector<T> node;
void update(int rt, int l, int r, int x, F f) {
if (r < x || x < l) return;
if (l == r) return node[rt] = f(node[rt]), void();
int mid = l + r >> 1;
update(rt << 1, l, mid, x, f);
update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, f);
node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
}
T query(int rt, int l, int r, int x, int y) {
if (r < x || y < l) return T::e();
if (x <= l && r <= y) return node[rt];
int mid = l + r >> 1;
return query(rt << 1, l, mid, x, y) + query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
}
public:
SegmentTree(int _n = 0) { init(_n); }
SegmentTree(const vector<T> &src) { init(src); }
void init(int _n) {
n = _n;
node.assign(n << 2, T::e());
}
void init(const vector<T> &src) {
assert(src.size() >= 2);
init(src.size() - 1);
function<void(int, int, int)> build = [&](int rt, int l, int r) {
if (l == r) return node[rt] = src[l], void();
int mid = l + r >> 1;
build(rt << 1, l, mid);
build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
};
build(1, 1, n);
}
void update(int x, F f) { update(1, 1, n, x, f); }
T query(int x, int y) { return query(1, 1, n, x, y); }
};
struct T {
int sum;
int mx;
static T e() { return { 0,(int)-1e9 }; }
friend T operator+(const T &a, const T &b) { return { a.sum + b.sum,max(a.mx,b.mx) }; }
};
struct F {
int upd;
T operator()(const T &x) { return { upd,upd }; }
};
const int N = 3e4 + 7;
vector<int> g[N];
HLD hld;
SegmentTree<T, F> sgt;
void node_update(int u, int w) {
sgt.update(hld.L[u], { w });
}
int path_max(int u, int v) {
auto &top = hld.top;
auto &dep = hld.dep;
auto &fat = hld.fat;
auto &L = hld.L;
int ans = -1e9;
while (top[u] != top[v]) {
if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
ans = max(ans, sgt.query(L[top[u]], L[u]).mx);
u = fat[top[u]];
}
if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
ans = max(ans, sgt.query(L[u], L[v]).mx);
return ans;
}
int path_sum(int u, int v) {
auto &top = hld.top;
auto &dep = hld.dep;
auto &fat = hld.fat;
auto &L = hld.L;
int ans = 0;
while (top[u] != top[v]) {
if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
ans += sgt.query(L[top[u]], L[u]).sum;
u = fat[top[u]];
}
if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
ans += sgt.query(L[u], L[v]).sum;
return ans;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
for (int i = 1;i <= n - 1;i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
hld.init(1, vector<vector<int>>(g, g + n + 1));
vector<T> a(n + 1);
for (int i = 1;i <= n;i++) {
int x;
cin >> x;
a[hld.L[i]] = { x,x };
}
sgt.init(a);
int q;
cin >> q;
while (q--) {
string op;
cin >> op;
if (op == "CHANGE") {
int u, t;
cin >> u >> t;
node_update(u, t);
}
else if (op == "QMAX") {
int u, v;
cin >> u >> v;
cout << path_max(u, v) << '\n';
}
else {
int u, v;
cin >> u >> v;
cout << path_sum(u, v) << '\n';
}
}
return 0;
}
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