「Luogu P2568 GCD」

看到这是一道紫题还是和gcd有关的才点进来(毕竟数论只会gcd).

前置芝士

1. 质数**(又称素数):因数只有1和本身,但是很特殊的1不是一个质数.
2. gcd**:欧几里得算法,又称辗转相除法,可以在约为O(LogN)的时间复杂度内求出两个数的最大公约数(N为两个数中大的那个数,在两数为相邻的斐波那契数时最慢,具体不证明其实就是我不会).
3. 欧拉函数**:一个非常基本的数论函数,是一个积性函数(虽然本题并没有考到),欧拉函数可以表示为\(\varphi(x)\),表示小于x的自然数中与x互质的数的个数(具体求法下文会讲到).

推导公式

很明显,直接暴力需要O(N^2)的时间发咋读但是N有1e7肯定是会T的,所以需要从gcd(a,b)为一个质数入手.

当\(gcd(a,b)==1\)时不难发现\(gcd(a*p,b*p)==p\)(p为任何自然数时都成立),于是乎可以先把0~N中的素数筛出来.

那么下面要怎么知道一个素数可以产生几对符合条件的a,b呢?

可以发现\(max(a,b)*p\leq N\Rightarrow max(a,b)\leq \dfrac {N}{p}\)因为a,b都为整数,所以\(max(a,b)\leq \lfloor\dfrac {N}{p}\rfloor\),于是就要知道小于p的互质的数对的个数了,拿出前置芝士中的欧拉函数,于是小于p的数的对数\(=2*\sum ^{\tiny\lfloor\dfrac {N}{p}\rfloor}_{i=1}\varphi \left( i\right)\)(因为如(1,2)和(2,1)同时成立,所以需要乘2),每次都要求自然还是会T,所以需要用到前缀和优化一下.

具体做法

欧拉函数的具体实现:(本人太菜,只会用埃氏筛)

对于x不是质数\(\varphi(x)=x*\prod ^{n}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})\)(其中\(p_{i}\)为为x质因数,n为x的质因数的个数)

x为质数时\(\varphi(x)=x-1\),其中十分特殊的\(\varphi(1)=1\).

这样可以直接套入埃氏筛中将所有\(1\leq x\leq N\)的\(\varphi(x)\)求出,再用一个sum数组统计起来.

如果还不是很了解可以康康例题.

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rap(i,first,last) for(int i=first;i<=last;++i)
using namespace std;
const int maxN=1e7+5;
int N;
double phi[maxN];
bool boo[maxN];
long long sum[maxN];//注意开long long
int main()
{
	scanf("%d",&N);
	rap(i,1,N)
	{
		boo[i]=1;
		phi[i]=i;//先赋值为i方便处理
	}
	boo[1]=0;//不是质数
	rap(i,2,N)//埃氏筛的部分
	if(boo[i])
	{
		phi[i]=i-1;
		rap(j,2,N/i)
		{
			boo[i*j]=0;
			phi[i*j]*=1.0-1.0/i;//求出欧拉函数的值
		}
	}
	sum[1]=1;//1时因为只有(1,1)所以不用乘二
	rap(i,2,N)
	sum[i]=sum[i-1]+1ll*((int)phi[i])*2;//用前缀和优化
	long long answer=0;//注意long long
	rap(i,2,N)
	if(boo[i])answer+=sum[N/i];//把每个质数所带来的(a,b)全部相加
	printf("%lld",answer);//输出answer
	return 0;
}

数论题的题解好难写