BZOJ 3122 随机数生成器

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3122

题意:给出p,a,b,x1,t

已知xn=a*xn-1+b%p，求最小的n令xn=t

首先，若x1=t，则返回1

若a=0，则若b=t 返回2，否则无解

若a=1，则T=t-x1+p%p，可以列出方程

b*x+p*y==T % p

若a>=2，则根据等比数列和可得

xn=t=x1*a^(n-1)+b*(a^(n-1)-1)/(a-1) %p

由于p为质数，所以令c=inv[a-1]=(a-1)^(p-2)

x1*a^(n-1)+b*c*(a^(n-1))==b*c+t %p

(x1+b*c)*(a^(n-1))==b*c+t % p

令A=x1+b*c,B=p,C=b*c+t

则就是解A*X+B*Y==C %p

解出来X=a^(n-1),然后这个用BSGS求就可以了

 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<map>
 #define ll long long
 ll p;
 ll read(){
     char ch=getchar();ll t=,f=;
     while (ch<''||ch>''){if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while (''<=ch&&ch<=''){t=t*+ch-'';ch=getchar();}
     return t*f;
 }
 ll Pow(ll x,ll y){
     ll res=;
     if (x<) x=(x+p)%p;
     while (y){
         if (y%) res=(res*x)%p;
         x=(x*x)%p;
         y/=;
     }
     return res;
 }
 ll gcd(ll a,ll b){
     if (b==) return a;
     else return gcd(b,a%b);
 }
 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
     if (b==){
         x=;
         y=;
         return;
     }
     exgcd(b,a%b,x,y);
     ll T=x;
     x=y;
     y=T-(a/b)*y;
 }
 ll reverse(ll X){
     ll A=X,B=p;
     ll x,y;
     exgcd(A,B,x,y);
     return (x%p+p)%p;
 }
 ll work(ll a,ll b){
     a%=p;
     if (a==){
         if (b==) return ;
         else return -;
     }
     std::map<ll,int> mp;
     ll m=sqrt(p)+,I=,Im=Pow(a,p--m),t=;
     mp.clear();mp[]=m+;
     for (int i=;i<m;i++){
         t=t*a%p;
         if (!mp[t]) mp[t]=i;
     }
     for (int k=;k<m;k++){
         int i=mp[I*b%p];
         if (i){
             if (i==m+) i=;
             return i+k*m;
         }
         I=I*Im%p;
     }
     return -;
 }
 ll solve(ll a,ll b,ll x1,ll t){
     if (t==x1) {
             return ;
     }
     if (a==){
             if (b==t){
                 return ;
             }
             return -;
     }
     if (a==){
             ll A=b,B=p,T=(t-x1+p)%p;
             ll D=gcd(A,B);
             if (T%D) {
                 return -;
             }
             T/=D;
             ll x,y;
             exgcd(A,B,x,y);
             x=(x*T)%p;
             while (x<) x+=p;
             return x+;
     }
     ll c=Pow(a-,p-);
     ll A=(b*c+x1)%p,B=p,T=(b*c+t)%p;
     if (A<) A=(A+p)%p;
     if (B<) B=(B+p)%p;
     ll D=gcd(A,B);
     if (T%D){
         return -;
     }
     T/=D;
     ll x,y;
     exgcd(A,B,x,y);
     while (x<) x=(x+p)%p;
     x=(x*T)%p;
     ll ans=work(a,x);
     if (ans!=-) return ans+;
     else return ans;
 }
 int main(){
     int Tcase;
     scanf("%d",&Tcase);
     while (Tcase--){
         ll a,b,x1,t;
         p=read();a=read();b=read();x1=read();t=read();
         printf("%lld\n",solve(a,b,x1,t));
     }
 }