bzoj 4198: [Noi2015]荷马史诗

Description

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

Output

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

Sample Input

4 2
1
1
2
2

Sample Output

12
2

HINT

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词，01(2) 替换第 2 种单词，10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×2+1×2+2×2+2×2=12

最长字符串 si 的长度为 2。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2) 替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×3+1×3+2×2+2×1=12

最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

对于所有数据，保证 2≤n≤100000，2≤k≤9。

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

Source

到现在才会Huffman树的我，终于把这个坑给填了；

首先百度百科：

给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)

实现方法就是每次取堆中两个权值最小的点合并，然后用一个虚拟点代表这两个点，再放入堆中；

然后叶子节点的编码长度为到根的距离，然后编码就是从根往下走，如果是在左儿子中则为1，在右儿子中则为0；

这个题实际上就是要构建一棵k叉Huffman树，所以编码就是k进制的,编码原则和二叉类似;

因为构建Huffman树的话是不会出现某个编码是另一个编码的前缀的，所以没有问题(这个分类一下就清楚了)；

然后我们按照普通Huffman树的构法，每次取k个点进行合并即可；然后还要求了到根的最长路径最短，那么我们在堆中以深度为第二关键字，优先合并深度大的；

注意可能取到后面就没有k个点了，所以我们需要把他补成满k叉树的叶子节点个数；

//MADE BY QT666

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1000050;

struct data{ll v,dep;};

bool operator < (data a,data b){

    if(a.v==b.v) return a.dep>b.dep;

    return a.v>b.v;

}

priority_queue<data> Q;

ll v[N],ans,n,tot,k;

int main(){

    scanf("%lld%lld",&n,&k);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&v[i]),Q.push((data){v[i],1});

    tot=n;

    if((n-1)%(k-1)) tot+=(k-1-(n-1)%(k-1));

    for(int i=n+1;i<=tot;i++) Q.push((data){0,1});

    while(Q.size()>1){

	ll tmp=0,res=0;

	for(int i=1;i<=k;i++){

	    ans+=Q.top().v;

	    tmp+=Q.top().v,res=max(res,Q.top().dep);Q.pop();

	}

	if(Q.empty()){printf("%lld\n%lld",ans,res);}

	Q.push((data){tmp,res+1});

    }

    return 0;

}