【a703】求逆序对(树状数组的解法)

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问题描述

给定一个序列a1,a2...an。如果存在i小于j 并且ai大于aj，那么我们称之为逆序对，求给定序列中逆序对的数目

Input

第一行为n，表示序列长度，接下来的n行，第i+1行表示序列中的第i个数。

Output

所有逆序对的总数

Sample Input

4
3
2
3
2

Sample Output

3

【题解】

这题的n最大值为10w.

求逆序对的方法除了利用归并排序之外，还可以用树状数组来解决。

以下是方法。

比如

3 2 8 5

将它们排序(从大到小)

8 5 3 2

先把8放进去(原来的位置是3)

但是在放之前，先检查位置3之前有没有其他数字放进去了(如果放进去了肯定是比8大的数字，但是它们的下标又小于3(逆序对！));

因为没有

所以就把下标3对应的树状数组改为1；

即0 0 1 0

然后是第大的5(原来的位置是4)

则看看4前面有多少个元素已经放进去了(前缀和！)。

发现有1个。则答案递增1；

然后把tree_arr[4] 改为1

即0 0 1 1

然后是第三大的数字3，它原来的位置是1,但是1前面没有数字已经放进去。则不递增答案。

最后是最小的元素2，它原来的位置就是2，然后位置2之前有一个数字3已经放在了位置1.即下标1的前缀和为1.则答案递增1.

最后答案为2；

而树状数组就是专门处理前缀和的。

排序完毕之后，从大到小，从他们各自原来的位置，一直往左累加长条(前缀和)就可以了。然后累加完毕之后，需要把它放在原来的位置(置为1)，则又要往右更新了。

但是要注意一个问题。就是出现相同数字的情况。

则我们在写比较函数的时候，让相同的数字，之前的位置大的放在后面。然后我们处理到连续的相同数字的时候。就记录这是连续相同数字里面的第i个。

在累加完前缀和之后答案减去i-1，因为相同大小就不算逆序对了;

【代码】

#include <cstdio>
#include <algorithm>

struct data2
{
	int d, pos;
};

int n;
__int64 tree_arr[100001] = { 0 };
__int64 ans = 0;
data2 a[100001];

int lowbit(int x) //求整数x的二进制的最靠近右边的数字1所代表的数字。
{
	return x & -x; //-x是在x的二进制按位取反之后再加上1的结果。然后和x取与运算。
}

int cmp(const data2 &a, const data2 &b)//比较函数。
{
	if (a.d > b.d)//按数字从大到小排序。
		return 1;
	if (a.d == b.d && a.pos < b.pos)//如果数字的大小相同，则靠后的在后面。
		return 1;
	return 0;
}

void find(int now) //一直往左累加长条(区间和)
{
	if (now <= 0)//越界了则退出
		return;
	ans += tree_arr[now];//累加这一段的区间和
	find(now - lowbit(now));//一直往左
}

void add(int now)//把数组中now位置上的数字递增1
{
	if (now > n)
		return;
	tree_arr[now] ++;
	add(now + lowbit(now));//然后继续往左，去递增那些会受到影响的区间。
}

int main()
{
	//freopen("F:\\rush.txt", "r", stdin);
	//freopen("F:\\rush_out.txt", "w", stdout);
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &a[i].d); //输入n个数据，并且记录它们原来的位置。
		a[i].pos = i;
	}
	std::sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);//把a数组以数字大小为关键字从大到小排序。
	int now = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)//把每一个数字放到树状数组中。
	{
		if (i != 1 && a[i - 1].d == a[i].d)//如果出现了连续相同的数字就记录这是连续相同数字里的第x个，now=x-1；
			now++;
		else
			now = 0;
		find(a[i].pos);//往左累加前缀和
		ans -= now;//减去重复的
		add(a[i].pos);//修改与其相关的区间。
	}
	printf("%I64d", ans);
	return 0;
}