RMQ算法 以及UVA 11235 Frequent Values(RMQ)

RMQ算法

简单来说，RMQ算法是给定一组数据，求取区间[l,r]内的最大或最小值。

例如一组任意数据 5 6 8 1 3 11 45 78 59 66 4，求取区间(1,8)  内的最大值。数据量小时，只需遍历一遍就可以，数据量一大时就容易时间超限，RMQ算法是一种高效算法，和线段树差不多（当没有数据的实时更新时），当然两者都需要预处理。

定义映射f(i,j)=x,即以i为起点，长度为2^j 区间内的最大最小值，显而易见f(i,0)为该数本身，那么求f(i,j+1)时；

可得公式 f(i,j)=max(f(i,j-1),f(i+(1<<j-1),j-1) 即f(1,2)=max(f(1,0),f(2,0))=6;

代码如下：

void get_RMQ()
{
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        maxx[i][]=x;
        minx[i][]=x;
    }
    for(int j=;(<<j)<=n;j++)
    {
        for(int i=;i+(<<j)<=n;j++)
        {
            maxx[i][j]=max(maxx[i][j-],maxx[i+(<<(j-))][j-]);
            minx[i][j]=min(minx[i][j-],minx[i+(<<(j-))][j-]);
        }
    }
}

例题 UVA 11235 Frequent Values(RMQ)

You are given a sequence of n integers a₁ , a₂ , ... , a_n in non-decreasing order. In addition to that, you are given several queries consisting of indices i and j (1 ≤ i ≤ j ≤ n). For each query, determine the most frequent value among the integers a_i , ... , a_j.

Input Specification

The input consists of several test cases. Each test case starts with a line containing two integers n and q(1 ≤ n, q ≤ 100000). The next line contains n integers a₁ , ... , a_n (-100000 ≤ a_i ≤ 100000, for each i ∈ {1, ..., n}) separated by spaces. You can assume that for each i ∈ {1, ..., n-1}: a_i ≤ a_i+1. The following q lines contain one query each, consisting of two integers i and j (1 ≤ i ≤ j ≤ n), which indicate the boundary indices for the query.

The last test case is followed by a line containing a single 0.

Output Specification

For each query, print one line with one integer: The number of occurrences of the most frequent value within the given range.

Sample Input

10 3
-1 -1 1 1 1 1 3 10 10 10
2 3
1 10
5 10
0

Sample Output

1
4
3
题目大意，给定一个非降序数列，求给定区间内出现的某个数出现的最大重复次数。
RMQ思路：
    因为非降序，所以-1记为第一个数，出现了两次，然后lx[1]记录原数组内-1出现的首位置，rx[1]记录原数组内-1最后出现的位置ans[i]=tot,即ans[1]=ans[2]=1，
则原数组转化为2，4，1，3；查询l,r时先判断ans[l]是否等于ans[r] 若ans[l]==ans[r] 则说明 区间(l,r)内都是同一个数，所以结果为r-l+1;
否则 result=max(RMQ(ans[l]+1,ans[r]-1),max(r-lx[ans[r]]+1,rx[ans[l]]-l+1)；因为断点处无法准确判断所以单独考虑。
RMQ代码如下 时间：540ms

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int mod=1e5+;
int ans[mod],pos[mod],lx[mod],rx[mod];
int dp[mod][],tot,x,n,q,l,r,last;
int max(int x,int y){
    return x>y?x:y;
}
void get_RMQ()//dp预处理
{
    for(int i=;i<=tot;i++){
        dp[i][]=pos[i];
    }
    for(int j=;(<<j)<=tot;j++)
    {
        for(int i=;i+(<<j)-<=tot;i++)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i][j-],dp[i+(<<(j-))][j-]);
        }
    }
}
int RMQ(int l,int r)//查询
{
    if(l>r) return ;
    int k=;
    while(<<(+k)<=r-l+)k++;
    return max(dp[l][k],dp[r-(<<k)+][k]);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        scanf("%d",&q);
        tot=;
        memset(dp,,sizeof(dp));
        memset(ans,,sizeof(ans));
        memset(pos,,sizeof(pos));
        memset(lx,,sizeof(lx));
        memset(rx,,sizeof(rx));
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if(i==){last=x;++tot;lx[tot]=;}
            if(x==last){ans[i]=tot;pos[tot]++;rx[tot]++;}
            else {ans[i]=++tot;pos[tot]++;lx[tot]=rx[tot]=i;last=x;}
        }
        get_RMQ();
        while(q--)
        {
            scanf("%d%d",&l,&r);
            if(ans[l]==ans[r]) printf("%d\n",r-l+);
            else printf("%d\n",max(RMQ(ans[l]+,ans[r]-),max(rx[ans[l]]-l+,r-lx[ans[r]]+)));
            //端点处单独考虑
        }
    }
    return ;
}

再来一个线段树代码，时间：730ms

//线段树查询
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int mod=1e5+;
int node[mod*],ans[mod],pos[mod],lx[mod],rx[mod];
int last,x,n,q,r,l,tot,cont;
int max(int x,int y){
    return x>y?x:y;
}
void PushUp(int t){
        node[t]=max(node[t<<],node[(t<<)+]);
}
void build(int l,int r,int t){//建造线段树
    int mid;
    mid=(l+r)>>;
    if(l==r){
        node[t]=pos[++cont];//注意数据的导入，并不是与t相等
        return;
    }
    build(l,mid,t<<);
    build(mid+,r,(t<<)+);
    PushUp(t);
}
int query(int ll,int rr,int l,int r,int t){//区间查询
    int k=;
    int mid=(l+r)>>;
    if(ll<=l && rr>=r) return node[t];
    if(ll<=mid) k=max(k,query(ll,rr,l,mid,t<<));
    if(rr>mid) k=max(k,query(ll,rr,mid+,r,(t<<)+));
    return k;
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)&&n){
        scanf("%d",&q);
        tot=;
        memset(ans,,sizeof(ans));
        memset(lx,,sizeof(lx));
        memset(rx,,sizeof(rx));
        memset(pos,,sizeof(pos));
        for(int i=;i<=n;i++){
            scanf("%d",&x);
            if(i==){last=x;++tot;lx[tot]=;}
            if(x==last){ans[i]=tot;pos[tot]++;rx[tot]++;}//数据的整合
            else {ans[i]=++tot;pos[tot]++;lx[tot]=rx[tot]=i;last=x;}
        }
        cont=;
        build(,tot,);
        while(q--){
            scanf("%d%d",&l,&r);
            if(ans[l]==ans[r]) printf("%d\n",r-l+);
            else printf("%d\n",max(query(ans[l]+,ans[r]-,,tot,),max(r-lx[ans[r]]+,rx[ans[l]]-l+)));
            //同样，端点处单独考虑
        }
    }
    return ;
}