【ACM】Knapsack without repetition - 01背包问题
无界背包中的状态及状态方程已经不适用于01背包问题,那么我们来比较这两个问题的不同之处,无界背包问题中同一物品可以使用多次,而01背包问题中一个背包仅可使用一次,区别就在这里。我们将 K(ω)改为 K(i,ω) 即可,新的状态表示前 i 件物品放入一个容量为 ω的背包可以获得的最大价值。
现在从以上状态定义出发寻找相应的状态转移方程。K(i−1,ω)为 K(i,ω)的子问题,如果不放第 i 件物品,那么问题即转化为「前 i−1 件物品放入容量为 ω 的背包」,此时背包内获得的总价值为 K(i−1,ω);如果放入第 i 件物品,那么问题即转化为「前 i−1 件物品放入容量为 ω−ωi 的背包」,此时背包内获得的总价值为 K(i−1,ω−ωi)+vi. 新的状态转移方程用数学语言来表述即为:K(i,ω)=max{K(i−1,ω),K(i−1,ω−ωi)+vi}
这里的分析是以容量递推的,但是在容量特别大时,我们可能需要以价值作为转移方程。定义状态dp[i + 1][j]
为前i
个物品中挑选出价值总和为j
时总重量的最小值(所以对于不满足条件的索引应该用充分大的值而不是最大值替代,防止溢出)。相应的转移方程为:前i - 1
个物品价值为j
, 要么为j - v[i]
(选中第i
个物品). 即dp[i + 1][j] = min{dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]}
. 最终返回结果为dp[n][j] ≤ W
中最大的 j.
以上我们只是求得了最终的最大获利,假如还需要输出选择了哪些项如何破?
以普通的01背包为例,如果某元素被选中,那么其必然满足w[i] > j
且大于之前的dp[i][j]
, 这还只是充分条件,因为有可能被后面的元素代替。保险起见,我们需要跟踪所有可能满足条件的项,然后反向计算有可能满足条件的元素,有可能最终输出不止一项。
import java.util.*; public class Backpack {
// 01 backpack with small datasets(O(nW), W is small)
public static int backpack(int W, int[] w, int[] v, boolean[] itemTake) {
int N = w.length;
int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
boolean[][] matrix = new boolean[N + 1][W + 1];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= W; j++) {
if (w[i] > j) {
// backpack cannot hold w[i]
dp[i + 1][j] = dp[i][j];
} else {
dp[i + 1][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
// pick item i and get value j
matrix[i][j] = (dp[i][j - w[i]] + v[i] > dp[i][j]);
}
}
} // determine which items to take
for (int i = N - 1, j = W; i >= 0; i--) {
if (matrix[i][j]) {
itemTake[i] = true;
j -= w[i];
} else {
itemTake[i] = false;
}
} return dp[N][W];
} // 01 backpack with big datasets(O(n\sigma{v}), W is very big)
public static int backpack2(int W, int[] w, int[] v) {
int N = w.length;
// sum of value array
int V = 0;
for (int i : v) {
V += i;
}
// initialize
int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];
for (int[] i : dp) {
// should avoid overflow for dp[i][j - v[i]] + w[i]
Arrays.fill(i, Integer.MAX_VALUE >> 1);
}
dp[0][0] = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= V; j++) {
if (v[i] > j) {
// value[i] > j
dp[i + 1][j] = dp[i][j];
} else {
// should avoid overflow for dp[i][j - v[i]] + w[i]
dp[i + 1][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
} // search for the largest i dp[N][i] <= W
for (int i = V; i >= 0; i--) {
// if (dp[N][i] <= W) return i;
if (dp[N][i] <= W) return i;
}
return 0;
} // repeated backpack
public static int backpack3(int W, int[] w, int[] v) {
int N = w.length;
int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= W; j++) {
if (w[i] > j) {
// backpack cannot hold w[i]
dp[i + 1][j] = dp[i][j];
} else {
dp[i + 1][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
} return dp[N][W];
} public static void main(String[] args) {
int[] w1 = new int[]{2, 1, 3, 2};
int[] v1 = new int[]{3, 2, 4, 2};
int W1 = 5;
boolean[] itemTake = new boolean[w1.length + 1];
System.out.println("Testcase for 01 backpack.");
int bp1 = backpack(W1, w1, v1, itemTake); // bp1 should be 7
System.out.println("Maximum value: " + bp1);
for (int i = 0; i < itemTake.length; i++) {
if (itemTake[i]) {
System.out.println("item " + i + ", weight " + w1[i] + ", value " + v1[i]);
}
} System.out.println("Testcase for 01 backpack with large W.");
int bp2 = backpack2(W1, w1, v1); // bp2 should be 7
System.out.println("Maximum value: " + bp2); int[] w3 = new int[]{3, 4, 2};
int[] v3 = new int[]{4, 5, 3};
int W3 = 7;
System.out.println("Testcase for repeated backpack.");
int bp3 = backpack3(W3, w3, v3); // bp3 should be 10
System.out.println("Maximum value: " + bp3);
}
}
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