《算法》C++代码 Floyd

今天写写最短路径的Floyd算法（有翻译叫弗洛伊德，不过这奇葩翻译用来读读就好……）。

这个算法的实质，广义来讲，其实是DP（动态规划）。其实按说，算法应该先说说什么贪心、搜索、DP、二分之类的基本算法的，但我觉得太广的东西对没有基础的人来说讲起来不清楚，还是先写写比较典型的一些算法比较好。而且这个系列是C++代码，并非过于详细的分析描述，那些以后有时间再写。

Floyd，求一个图中任意两点间的最短路径。图中有N个点，则算法复杂度是O(N³)，空间复杂度是O(N²)，编程复杂度极低。

先说下其中的基本操作，若i->j的当前路径不如i->k->j短，则更新最短路。这个操作叫做“松弛操作”，是最短路径算法中很基础的操作，就像排序中的“交换操作”一样基础，Floyd、Dijkstra、SPFA都是基于这个操作的。写成代码就是：

　　if(d[i][j]<d[i][k]+d[k][j]) d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];

Floyd算法的思想是，以每个点分别为中间结点（上式中的k），去更新所有路径。例如对于u->v来说，最短路径是u->k1->k2->k3->k4->v，假设k1<k3<k2<k4，那么实际过程就是：

　　0、算法初始化，定义一个d数组，存的是初始任意两点间距离，若存在边u->v，则d[u][v] = u->v；若不存在边u->v，则d[u][v] = ∞（其实就相当于图的邻接矩阵，只不过没有的边补成了∞）

　　1、不妨设原本d[u][v] = ∞

　　2、在k=k1时，d[u][k2] = d[u][k1]+d[k1][k2] = u->k1->k2;

　　3、在k=k3时，d[k2][k4] = d[k2][k3]+d[k3][k4] = k2->k3->k4;

　　4、在k=k2时，d[u][k4] = d[u][k2]+d[k2][k4] = u->k1->k2->k3->k4;

　　5、在k=k4时，d[u][v] = d[u][k4]+d[k4][v] = u->k1->k2->k3->k4->v;

　　6、算法结束，d[u][v]中所存为最终最短路径，所有点对皆是如此，所以全部过程完结之后，任意两点的最短路径就都求出来了。

其实，这推导过程中，有些问题没有考虑到，因此算法的正确性在此文中并没有得到完整证明。时间所限，不再细说，有兴趣的同学可以想想，我有时间会再提的。

代码很简单，就三行：

for(int k=;k<=N;++k)
    for(int i=;i<=N;++i)
        for(int j=;j<=N;++j) d[i][j] ← d[i][k]+d[k][j]; // 此处表示用右侧更新左侧，即松弛操作